6.1 Gleichspannungsarbeitspunkt (DC-Operating Point)

Die traditionelle, an sich für fast alle Probleme applikable, Definition des Gleichspannungsarbeitspunkts für den Zeitpunkt lautet [25]:

Das ursprüngliche elektrische Netzwerk wird derart verändert, daß alle Spulen durch Kurzschlüsse und alle Kondensatoren durch Unterbrechungen ersetzt werden. Alle von der Zeit abhängigen Funktionen werden durch ihren Wert für ersetzt. Das so entstehende Netzwerk, repräsentiert durch ein lineares Gleichungssystem ohne Differentialoperatoren, wird berechnet. Die Lösung ist der Gleichspannungsarbeitspunkt.

Diese Definition hat den Nachteil, daß z.B. im Widerspruch zu den physikalischen Grundsätzen die Spannungen in Knoten A in Abbildung 6.1, dem Mittelpunkt eines Kondensatorsterns (Knoten, in die nur ideale Kondensatoren münden) und die Ströme durch ideale parallel geschaltete Spulen nicht berechnet werden können. Zusätzlich ist der Strom in einer Spannungsquellenmasche, und die Teilspannungen an in Serie geschalteten idealen Stromquellen, nicht berechenbar.

  
Abbildung 6.1: Kapazitiver Spannungsteiler

Die Ursache für dieses Versagen der traditionellen Definition für derartige, an sich irreale Netzwerke, liegt im Verlust der Anfangsinformation über das Netzwerk, da ja ein Netzwerk nicht mit seinem Gleichspannungsarbeitspunkt zu existieren begonnen hat, sondern zu irgend einem Zeitpunkt, in dem das gesamte Netzwerk (das gesamte Volumen) ohne elektrische Energie war.

Um nun auch diese Fälle behandeln zu können, muß eine Definition herangezogen werden, die dem eigentlichen Gedanken des Gleichspannungsarbeitspunkts entspricht:

Gegeben ist das Problem, die Spannungen, Ströme, Ladungen und Flüsse eines elektrischen Netzwerks zum Zeitpunkt zu bestimmen. Dieses Problem kann für lineare Netzwerke als lineares inhomogenes Differentialgleichungssystem der Form

dargestellt werden. Die Lösung dieses Differentialgleichungssystems kann als Lösung folgenden Problems aufgefaßt werden:

Die Integration beginnt zum Zeitpunkt um die komplette Vorgeschichte des Netzwerkes und seiner Bauteile zu berücksichtigen. Als Anfangswert zum Zeitpunkt haben alle elektrischen Größen im Netzwerk den Wert 0, d.h. das Netzwerk ist energielos. Da diese Integration praktisch numerisch nicht durchführbar ist, weil die komplette Vorgeschichte des Netzwerks berücksichtigt werden muß, teilt man das Originalproblem:

Der Zustand des Netzwerkes zum Zeitpunkt wird als stationär angenommen und als Gleichspannungsarbeitspunkt bezeichnet. Der Gleichspannungsarbeitspunkt stellt also den Anfangswert für das das Netzwerk darstellende Differentialgleichungssystem 6.1 zum Zeitpunkt dar. Der Gleichspannungsarbeitspunkt kann auch als jener Zustand interpretiert werden, der sich ergibt, wenn alle Quellen beliebig langsam, - wie im folgenden erklärt - auf ihren Sollwert zum Zeitpunkt gebracht werden.

Ein wichtiger Punkt ist, in welcher Form die Quellen auf ihren Sollwert gebracht werden, um ein stationäres Verhalten des Netzwerkes zu erreichen. Wenn zu irgend einem Zeitpunkt der Anstieg des Quellenwertes ungleich 0 ist (nicht infinitesimal klein ist), besteht die Gefahr, daß das Netzwerk zu schwingen anfängt und unter Umständen nie mehr zu schwingen aufhört (ungedämpfter Schwingkreis).

Die mathematische Definition des Gleichspannungsarbeitspunkts für den   Zeitpunkt lautet nun:

1. In den Operatormatrizen aller Bauteile (4.5) werden alle Quellen (I, U, Q, ) durch Funktionen mit folgenden Eigenschaften ersetzt:
   • P ist ein Parameter der Funktion mit der Dimension Zeit.
   • P ist kleiner als .
   • Die Funktion ist bis zur höchsten auftretenden Zeitableitungen stetig differenzierbar.
   • Die Funktion hat zum Zeitpunkt den Nominalwert der Quelle.
   • Zum Zeitpunkt P hat die Funktion den Wert 0, also .
   • Alle Ableitungen der Funktion haben für jedes im Intervall , wenn P gegen geht, den Wert 0, also

      

2. Als nächster Schritt wird das Differentialgleichungssystem zur Beschreibung des Netzwerkes erstellt.

3. Das Differentialgleichungssystem wird gelöst.
4. Es wird der Grenzübergang für P gegen durchgeführt.
5. Das Ergebnis ist der Gleichspannungsarbeitspunkt für , also:

    

   mit dem Äquivalent zur Matrix mit den Ersatzquellen.

Typische Vertreter für die oben spezifizierte Funktion sind alle gebrochen rationalen Funktionen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms ist.

Die einfachste derartige Funktion ist:

wobei der Wert der Quelle zum Zeitpunkt ist, und , ist.

Werden die Quellen durch diese einfache Funktion ersetzt, so entsteht folgende Operatormatrix :

Das Gleichungssystem für den Gleichspannungsarbeitspunkt lautet dann:

mit den Anfangswerten .

Praktisch kann dieser komplizierte Algorithmus durch folgende einfachere Methode ersetzt werden.

1. Die Bauelementematrizen werden nach folgenden Regeln modifizert:
   • alle Quellen werden durch Konstantquellen mit dem Wert der Quelle zum Zeitpunkt ersetzt.
   • Alle -Operatoren werden durch den 0-Operator ersetzt.
   • Alle -Operatoren werden durch den -Operator ersetzt. ( bedeutet, daß für alle Werte von gelten muß.)
   Das entstehende lineare algebraische Gleichungssystem wird gelöst.
2. Alle auf diese Weise nicht berechenbaren Größen sind Größen, die in keiner Bauteilgleichung vorkommen. Sie wären daher während der Integration des Differentialgleichungssystems (6.1) nicht verändert worden und haben daher den Anfangswert zum Zeitpunkt , also 0.

Da man in der Regel immer den Gleichspannungsarbeitspunkt zum Zeitpunkt verwendet, ergeben die obigen Regeln folgende algebraische Matrix:

Im Gegensatz zur traditionellen Definition des Gleichspannungsarbeitspunkts verschwinden in dieser Matrix die Kondensatoren und die Spulen nicht komplett, sondern es verschwinden nur die Operatoren, der Wert des Kondensators bzw. der Spule bleibt erhalten.