2.4.2 Die unstrukturierte Gitterinformation



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2.4.2 Die unstrukturierte Gitterinformation

Im Gegensatz zu reinen Finite-Differenzen-Diskretisierungen steht bei Finiten Boxen in der vorliegenden Implementierung keine geordnete Information über die Nachbarschaft des Punktes zur Verfügung. Es ist also nicht möglich, falls beispielsweise ein Gitterpunkt mit einem Nachbarn gegeben ist, auf einfache Art einen gegenüberliegenden Nachbarn anzugeben, oder den nächsten im Uhrzeigersinn, oder ähnliches.

Für die Diskretisierung der hier behandelten Gleichungen ist allerdings eine solche Information nicht nötig. Man kommt dabei mit einer unstrukturierten Nachbarschaftsinformation, das heißt, mit einer einfachen Summation, die sich über alle Nachbarn erstreckt, immer aus. Ein funktionaler Zusammenhang zwischen verschiedenen Nachbarn, zum Beispiel solchen, die ihrerseits benachbart sind, ist nicht vorhanden.

Probleme bereitet allerdings die Diskretisierung von Vektorgrößen. Diese Diskretisierung spielt nur für abgeleitete Ausgabegrößen und zur Bestimmung einzelner Hilfsgrößen (zum Beispiel der Beweglichkeit in Abhängigkeit von der treibenden Kraft) eine Rolle, findet also keinen Eingang in die Diskretisierung der eigentlichen Differentialgleichungen. Für die Diskretisierung von Vektorgrößen konnte eine Formulierung gefunden werden, die ebenfalls nur unstrukturierte Nachbarschaftslisten benötigt und für den Spezialfall von Rechtecksgittern mit der bei diesen verwendeten Diskretisierung übereinstimmt. Sie ist in Kapitel 5 angegeben.

Der Vorteil einer unstrukturierten Nachbarschaftsinformation liegt in der Unabhängigkeit von der Struktur des Gitters. Es ist sehr leicht möglich, neuartige Vergitterungsverfahren an den Simulator anzubinden, weil vom Gitter keine spezielle Struktur verlangt wird. In den Beispielen wurden die geometrischen Daten mit einem Rechtecksgitter aufgelöst. Besonders beim HEMT entspricht ein Rechtecksgitter am besten dem strukturellen Aufbau des Bauelements, das aus sehr dünnen, parallelen Schichten besteht. Da die MOS-Transistoren des Ringoszillator-Beispiels einen planaren Aufbau besitzen, kommt man ebenfalls mit einem Rechtecksgitter aus. Die strukturelle Information über das Gitter findet allerdings nur Eingang in den Gittergenerator des Simulators. Das Ergebnis der Vergitterung, das Rechengitter und die geometrische Nachbarschaftsinformation, wird vom Rest des Programms ohne Kenntnis der Gitterstruktur, nur auf der Grundlage der unstrukturierten Nachbarschaftsinformation eines Finite-Boxen-Gitters, verwendet. Zur Behandlung anderer Geometrien, die Dreiecksgitter erfordern, ist es also nur erforderlich, die dem Gitter entsprechende Nachbarschaftsinformation zu erzeugen.

Diese unstrukturierte Nachbarschaftsinformation besteht im wesentlichen aus folgenden Daten, die in Listen zusammengefaßt sind:

     
  1. Für jeden Gitterpunkt:
    Die Gitterinformation enthält pro Gitterpunkt den Index des Gitterpunkts/der Box, das zugeordnete Boxvolumen und den geometrischen Ort des Punktes (Bild 2.1).

     

  2. Für jedes Paar benachbarter Boxen:
    Für jedes Paar benachbarter Boxen werden die Indizes und der beiden Gitterpunkte/der Boxen, die zugeordnete Distanz der Boxkontrollpunkte und (diese Distanz allein wird selten benötigt) und das Verhältnis der gemeinsamen Boxgrenzfläche zu dieser Distanz: (Bild 2.2) zur Verfügung gestellt.

     

  3. Für Gitterpunkte auf Grenzschichten:
    An Grenzschichten (Bild 2.3) gibt es jeweils Paare benachbarter Boxen mit den Kontrollpunkten und (diese Punkte haben typischerweise den gleichen geometrischen Ort, sind aber Kontrollpunkte verschiedener Boxen, die sich auf den beiden Seiten der Grenzschicht erstrecken). Für die beiden Kontrollpunkte gelten auch im allgemeinen verschiedene Werte der Simulationsvariablen; jeder Wert ist als einseitiger Grenzwert bei Annäherung an die Grenze von der Seite seiner zugeordneten Box aus zu verstehen. Die Simulationsvariablen werden auf der Grenzschicht im allgemeinen durch Übergangsbedingungen verknüpft (Kapitel 6).

    Für diese Übergangsbedingungen sind als Information die Indizes der beiden Punkte und , der zugeordnete Flächenanteil an der Grenzfläche, die Indizes der beiden benachbarten Gitterpunkte an der Grenzschicht, und zwei benachbarte Punkte im Flächeninneren vorhanden. Die letztere Information ist aber nur bei besonders komplizierten Übergangsbedingungen notwendig; für die im Rahmen dieser Arbeit verwendeten vereinfachten Übergangsmodelle wird sie nicht benötigt.

     

Diese Information, die praktisch keine Einschränkungen an den Gittertyp stellt, reicht für die Diskretisierung der Differentialgleichungen, die Formulierung der Randbedingungen und für die Diskretisierung von Vektorgrößen aus.



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Martin Stiftinger
Fri Oct 21 18:22:52 MET 1994