Die Poissongleichung, die in Halbleiter- und Isolatormaterialien gelöst wird, ergibt sich aus der MAXWELLschen Gleichung für die dielektrische Verschiebung:
Die Verschiebung 
wird durch den
Materialparameter 
(Dielektrizitätskoeffizient oder
Permittivität) mit dem elektrischen Feld 
in Verbindung gebracht,
und dieses ist durch den Gradienten
des elektrischen Potentials 
gegeben. Dadurch entsteht die
sogenannte Poisson-Gleichung
für das Potential :
Die Raumladung 
in der Poissongleichung setzt sich
aus der Ladung der freien Ladungsträger (Elektronen und Löcher) und
aus der Ladung ionisierter Störstellen zusammen:
und läßt sich für weniger aufwendige Implementierungen zu
vereinfachen, wobei 
die Löcherkonzentration ist, 
die
Elektronenkonzentration, 
die Konzentration positiv
geladener Donatoren, 
die Konzentration negativ geladener
Akzeptoren, 
der Index eines Elektronen- oder
Löchertyps, 
der Index eines Akzeptors oder
Donators, 
die Konzentration des Ladungsträgers ,
das Vorzeichen der Ladung des Ladungsträgers (
für Löcher, 
für Elektronen), 
die Konzentration
ionisierter Dopanden des Typs , 
die Ladungszahl
des Dopanden, und 
die Elementarladung.
Die Summation läuft dabei über alle vorhandenen Ladungsträgertypen
bzw. Dopanden .
Integration von (3.1) über das Boxvolumen 
ergibt
mit dem Gaußschen Satz
Die Diskretisierung wird durch den Übergang vom Integral zur Summation durchgeführt. Dabei entsteht der Diskretisierungsfehler:
Dabei ist 
die Projektion 
der
dielektrischen Verschiebung auf die Verbindungslinie der Punkte 
und 
. 
ist eine geeignete Mittelung zwischen den
beiden Gitterpunkten. 
ist der Wert der Raumladung
am Gitterpunkt , und 
und sind die
geometrischen Daten, die als Ergebnis der Vergitterung zur Verfügung
stehen (siehe Seite 
). Die Gleichung gilt jetzt für
den Gitterpunkt . Die Summation läuft über alle Nachbarpunkte
des Punktes .
Einsetzen von (3.5) am Gitterpunkt ergibt
und mit der Definition der Kontrollfunktion
lautet die diskretisierte Poissongleichung, die im Simulator eigentlich gelöst wird:
Dabei setzt sich der Vektor 
aus den Kontrollfunktionen an
den einzelnen Gitterpunkten zusammensetzt, der Vektor 
aus
den Werten des Potentials zu einem bestimmten Zeitpunkt ebenfalls auf
diesen Gitterpunkten. Der Vektor ist also das
diskrete Gegenstück des kontinuierlichen Potentials ,
das eine Funktion des Ortes und der Zeit ist.
Unter der Voraussetzung, daß sich das Magnetfeld zeitlich nur sehr
langsam ändert (
), kann
der dielektrische Fluß 
zwischen den Gitterpunkten
und trivial diskretisiert werden, indem die nur schwach
ortsveränderliche Permittivität arithmetisch an den
Mittelpunkt interpoliert und das elektrische Feld einfach als
Differenzenquotient angeschrieben wird:
