2.1 Erzeugung der Geometrie

Die Geometrie kann entweder direkt von einem 'Solid Modeler' (s. Abschnitt 2.1.1) oder aus einer Topographiesimulation erhalten werden (s. Abschnitt 2.1.2). Zelluläre Geometrien bestehen aus dreidimensionalen Grundelementen, wie z.B. Tetraedern oder Würfeln, und lassen sich nach strukturierten und unstrukturierten Gittern unterscheiden (s. auch Abb. 2.1^2.1und Abb. 2.2):

• Strukturierte Gitter sind dadurch gekennzeichnet, dass jeder Gitterpunkt und jede Zelle durch ein Indextripel ($i,j,k$) festgelegt ist. Es müssen die Elemente nicht explizit abgespeichert sein, da ihre Eckpunkte direkt in der Punktliste mit den drei Richtungsindizes gefunden werden können. Ortho-Produkt-Gitter sind strukturierte Gitter bei denen nicht nur die Topologie der Zellen, sondern auch die Koordinaten der Gitterknoten einer Regelmäßigkeit unterliegen, und die Gitterzellen haben ebenso wie das Gesamtgitter Parallelogramm- (2D) bzw. Spatform (3D). Ein rektilineares Gitter ist gekennzeichnet durch das Zusammenfallen der Hauptachsen mit den Achsen des Koordinatensystems; ein kartesisches Gitter besteht darüberhinaus nur aus Zellen gleicher Größe.
• Unstrukturierte Gitter bestehen aus Knotenpunkten, deren Anordnung keiner bestimmten Regelmäßigkeit unterliegen. Definiert wird ein unstrukturiertes Gitter durch eine Punktliste und eine Elementliste. Die Punkte sind durch ihre Koordinaten gegeben, die Elemente referenzieren ihre Knoten durch Indizes auf die Punktliste. Wenn verschiedene Grundelemente zur Anwendung kommen, ist noch die Kennzeichnung des Elementtyps erforderlich.

Abbildung 2.1: Zelluläre Geometrien: Ein unstrukturiertes Tetraedergitter (a), das durch Aufbrechen entlang einer Schnittebene einen Blick ins Innere gestattet (Achsen der Schnittebene sind strichliert eingezeichnet) und ein strukturiertes Gitter (b)

Abbildung 2.2: Rektilineares Gitter (a) und kartesisches Gitter (b) als Spezialfälle strukturierter Gitter

Da die Beschreibung allgemeiner Geometrien hohe Flexibilität erfordert, werden in dieser Arbeit unstrukturierte Gitter mit Dreiecks- und Tetraederelementen verwendet.

2.1.1 Modellierung mittels eines 'Solid Modelers'

'Solid Modeler' bieten verschiedene Geometrieoperationen (Translation, Rotation, ...) an, die mittels logischer Verknüpfung (UND, ODER, ...) Körper konstruieren. Meistens liegt eine Beschreibung der Struktur bereits in einem zweidimensionalen Format vor (Layout). Durch Duplizierung dieser zweidimensionalen Fläche und Verschiebung um die Dicke in der dritten Dimension erhält man einen Körper. Neben der Vorgabe einer konstanten Dicke bietet der Präprozessor LAYGRID [64] die Möglichkeit je nach Position in der $x,y$-Ebene eine unterschiedliche Dicke zuzuweisen, womit der Anwender die Möglichkeit hat, nichtplanare Geometrien zu modellieren.

2.1.2 Modellierung durch Topographiesimulation

Übliche Modellierungsverfahren vernachlässigen den Unterschied zwischen dem vorgegebenen Entwurf und der durch unzählige Prozessschritte erzeugten realen Struktur. Strukturen, die kleine Auflösungsgrößen benötigen und stark nichtplanare Oberflächen aufweisen, sind mittels genauer Topographiesimulation zu untersuchen, da vor allem dabei große Abweichungen zwischen Entwurf und erzeugter Struktur in Form von Abrundungen, Hohlräumen, usw. auftreten, die zum Teil große Auswirkungen auf die elektrischen Eigenschaften haben.

Durch Topographiesimulationen lassen sich obengenannte Auswirkungen berücksichtigen. Dabei wird in kleine Zeitschritte diskretisiert und in der Folge die Oberfläche entsprechend physikalischer Modelle berechnet. Beispielsweise ist es mit dem Topographiesimulator etch3d [65] möglich, realistische Strukturen von Verbindungsleitungen zu erzeugen. Dieses Programm basiert auf einem zellulären Verfahren. Leider ist das Ergebnis der zellulären Topographiesimulation ohne nachfolgende Vergröberungsmethoden nicht brauchbar, die eine geeignete polygonale Darstellung erzielen, weil die Gitterdichte ungeeignet hoch für eine FEM Simulation ist. Üblicherweise wird von einer Layoutinformation und einer Prozessbeschreibung ausgegangen, die in einem Topographiesimulator verarbeitet werden. Die resultierende Geometrie wird vom Gittergenerator vergittert und einem dreidimensionalen Simulator zugeführt, dessen Ergebnisse Eingabewerte in Form einer Netzliste für einen Stromkreissimulator zur Berechnung der elektrischen Eigenschaften sind (Abb. 2.3). Abbildung 2.4 zeigt für ein einfaches Beispiel die Konturflächen des elektrischen Potenzials im Dielektrikum, wobei die Leitungsgeometrie Ergebnis einer Topographiesimulation ist [66].

Abbildung 2.3: Einbettung der Topographiesimulation im Simulationsdatenfluß

Abbildung 2.4: Konturflächen der Potenzialverteilung im Dielektrikum, deren Leitungen Ergebnis einer Topographiesimulation sind

Fußnoten

...fig:zellgeom^2.1

Der Schnitt in Abb. 2.1a entfernt diejenigen Tetraeder, deren Schwerpunkt oberhalb der Schnittebene liegt. Dadurch läßt sich die unterschiedliche Gitterdichte am Ende der Leitung und im Via noch besser erkennen.