2.2 Erzeugung des Simulationsgitters

Die Anforderungen an das Gitter sind vielfältig: Zum einen muss der realen Geometrie Rechnung getragen werden, zum anderen treten gerade bei der Simulation von Verbindungsstrukturen oftmals stark unterschiedliche Größenverhältnisse auf, die aufwendige Algorithmen zur Gittergenerierung erfordern [67]. Wie bereits anfangs des Kapitels angerissen, werden konkurrierende Anforderungen an das Gitter gestellt. Einerseits muss die Gitterdichte ausreichend sein, um Diskretisierungsfehler klein zu halten, andererseits sollte die Anzahl der Elemente klein sein, um so schnell wie möglich Resultate zu erhalten. Prinzipiell kann man erst nach erfolgter Simulation aufgrund einer Fehleranalyse die Qualität des Gitters beurteilen.

Im folgenden wird erläutert, warum Gitter mit sogenannten Delaunay-Eigenschaften von Vorteil sind. Die Delaunay-Zerlegung ist im zweidimensionalen Fall dadurch charakterisiert, dass innerhalb des Umkreises jedes Dreiecks keine Eckpunkte anderer Dreiecke liegen. Eine Delaunay-Zerlegung stellt im zweidimensionalen Fall sicher, dass bei vorgegebener Punktwolke das erzeugte Gitter in Bezug auf den minimalen Elementwinkel optimal ist [68]. Eine Zerlegung im dreidimensionalen Fall fordert, dass innerhalb der Umkugel eines Tetraeders keine Eckpunkte anderer Tetraeder vorkommen. Im dreidimensionalen Fall wird die ``minimum containment sphere'' optimal [69]. Dabei können allerdings Elemente mit sehr kleinem Volumen und Flächenwinkel nahe 0 $^\circ$ und 180 $^\circ$ entstehen. Trotzdem bewährt sich eine Delaunay-Methode im dreidimensionalen Fall, da sie schnellere Algorithmen zur Gittererzeugung ermöglicht. In Kombination mit speziellen Methoden (s. beispielsweise Steiner-Punktverfeinerung) zur Behandlung von Elementen mit kleinem Volumen lassen sich Gitter mit guter Qualität erreichen [70].

Im weiteren werden kurz zwei Gittergeneratoren vorgestellt, die zur Gittererzeugung herangezogen werden können.

Layer-Methode:

Der Präprozessor LAYGRID [71] benutzt den geschichteten Aufbau von Verbindungsleitungen in integrierten Schaltungen, um eine robuste und schnelle Gittererzeugung zu gewährleisten. Dabei wird für jede Schicht eine zweidimensionale Maskendefinition vorgenommen, die gestapelten Layer mit allen Linien werden auf eine zweidimensionale Ebene projiziert und ein entsprechendes Dreiecksgitter erzeugt (s. Abb. 2.5).

Abbildung 2.5:
Gittererzeugung mit dem Präprozessor LAYGRID

Dieses Dreiecksgitter wird mit dem Programm Triangle [72] erzeugt. Dieser Delaunay-Gittergenerator verfügt über verschiedene Methoden um die Gitterdichte zu kontrollieren, die wichtigsten sind die Steuerung eines minimalen Winkels und die maximale Fläche des Dreiecks. Durch Duplizierung dieser zweidimensionalen Fläche in die dritte Dimension entsprechend der Dicke jeder Lage wird ein prismatisches Gitter erzielt, das durch Aufspalten der Prismen in einem Tetraedergitter mündet. Falls erstens, das ursprüngliche Dreiecksgitter dem Delaunay-Kriterium genügt und zweitens, die Schichten planar sind, besitzt auch das daraus resultierende Tetraedergitter die Delaunay-Eigenschaft. Als Nachteil sei angeführt, dass sehr kleine Geometriedetails und Linien aus verschiedenen Schichten, die sich beinahe decken zu einer hohen Gitterdichte in der Projektionsebene führen. Diese Gitterdichte zieht sich durch das ganze Gitter (alle Schichten) durch und führt damit zu einer unerwünschten Erhöhung der Elementanzahl.

Unstrukturierte Gitter:

Mit der Anbindung des Gittergenerators deLink [73,74], der dreidimensionale unstrukturierte Delaunay-Gitter erzeugt, kann man diese Nachteile verhindern, da dieser Gittergenerator von der Oberfläche beginnend den Körper mit Tetraedern auffüllt. Falls nötig wird die Oberfläche automatisch verfeinert, und dort wo eine erhöhte Gitterdichte gewünscht wird, können durch entsprechende Anwendung von unterschiedlichen Verfeinerungsmethoden die Anzahl der Tetraeder selektiv vergrößert werden.

Gitterverfeinerung ist notwendig, wenn die Simulation auf einem bestimmten Gitter nicht die geforderte Genauigkeit erlangt. Es stehen verschiedene Möglichkeiten zur Gitterverfeinerung zur Verfügung:

• Globale Gitterverfeinerung
• Gitterverfeinerung mittels ``Dummy-Layer'' (LAYGRID)
• Lokale Gitterverfeinerung (deLink)

Globale Verfeinerung wird angewendet, wenn viele Gitterelemente zu groß sind. Die Gitterqualität bleibt im zweidimensionalen Fall unverändert, wenn alle Dreiecke in kleinere, ähnliche Dreiecke aufgeteilt werden. Der Tetraeder kann hingegen nur in vier ähnliche Tetraeder und einen Oktaeder zerlegt werden (siehe Abb. 2.6).

Abbildung 2.6: Verfeinerung eines Tetraeders

Abbildung 2.7: Verfeinerung eines Oktaeders

Der Oktaeder kann wiederum in vier Tetraeder zerteilt werden (siehe Abb. 2.7). Da letztere Tetraeder keine geometrische Ähnlichkeit zum Ursprungstetraeder aufweisen, wird bei der kürzesten Raumdiagonale des Oktaeders geteilt, um die beste Elementqualität zu erreichen.

Gitterverfeinerung mittels ``Dummy-Layer'' ist mit dem Präprozessor (LAYGRID) möglich. Das gezielte Einfügen eines ``Dummy-Layer'' erhöht die Gitterdichte an den geforderten Stellen, und durch die implizite Vorgabe, dass die Dicke von Schichten innerhalb eines bestimmten Verhältnisses bleibt, wird auch die unmittelbare Umgebung außerhalb dieser geometrischen Vorgaben angepaßt. Das Initialgitter in Abb. 2.8a besitzt nur Tetraeder, deren Höhe den Schichtdicken der Metallisierungsebenen M1, M2 und M3 entsprechen. Abbildung 2.8b zeigt das Resultat der Vorgabe von zwei dünnen Grenzschichten an den beiden Enden des vertikalen Verbindungstückes.

Abbildung 2.8: Struktur eines einfachen Vias, (a) ohne und (b) mit sogenannter ``Dummy-Layer'' um die Gitterdichte zu erhöhen. Zwei ``Dummy-Layer'' sind in der Metallisierungsebene M2 an den Enden der vertikalen Verbindung eingefügt worden. Zusätzlich ist eine ``Dummy-Fläche'' im vertikalen Verbindungsstück angebracht worden, die sich durch alle Schichten zieht. Die beiden Pfeilpaare heben dies hervor.

Abbildung 2.9: Via mit einem Gitter von deLink

Erst durch diese Verfeinerung kann eine genaue Diskretisierung der Feldgrößen in den Bereichen sichergestellt werden, wo die Lösung große Gradienten aufweist.

Lokale Gitterverfeinerung bietet der Gittergenerator deLink (siehe Abb. 2.9), der abhängig von den Erfordernissen folgende implementierte Methoden offeriert:

(a)

Streuen von Punkten
Es gibt vielfältige Möglichkeiten Punkte zu streuen: Für nicht planare Oberflächen besteht die Möglichkeit in Richtung der Normalen entsprechend einer Längenvorgabe (inklusive Skalierungsfaktor) sogenannte ``boundary layer'' zu erzeugen. Eine andere Methode besteht darin einen Bereich zu definieren in dem anisotrop gemäß einem transformierten Koordinatensystem mit einem Skalierungsfaktor vergittert wird. Dabei entsteht ein gradliniges anisotropes Gitter. Die Methoden können sowohl einzeln als auch überlagert eingesetzt werden. Der Anwendungsfall wird entscheiden, welche Strategie verfolgt wird.

(b)

Steiner-Punktverfeinerung
Der Vorteil dieser Option ist, dass die Verfeinerung zu einer Qualitätsverbesserung der Elemente benutzt werden kann. Dies funktioniert sehr gut in 2D, in 3D spielen allerdings sogenannte ``Sliver''^2.2 eine größere Rolle, welche durch diese Methode nicht direkt beseitigt werden können [70]. Herkömmliche Verfeinerungsstrategien führen immer wieder auf ähnliche Elemente ohne die Topologie wesentlich zu verändern (in 2D durch Verkleinern in ähnliche Dreiecke, in 3D s. Abschnitt 2.2).

Bei der Steiner-Punktverfeinerung wird auf einem groben Delaunay-Initialgitter entsprechend einer skalaren Gewichtungsfunktion oder aufgrund geometrischer Qualitätskriterien solange verfeinert bis diese vorgegebenen Kriterien erfüllt sind. Der Kniff dieses Verfahrens ist, dass nach Einfügen eines neuen Punktes (zumeist der Umkugelmittelpunkt) Gitterelemente von minderer Qualität aufgelöst werden. Durch Wenden von Flächen erfolgt die Wiederherstellung der Delaunay-Eigenschaft.

Fußnoten

... ``Sliver''^2.2

Sliver (Spanelemente) sind Elemente mit sehr geringem Volumen ( $V \rightarrow 0$) und sehr stumpfwinkligen Flächenwinkeln ( $\alpha \rightarrow 180$); sie weisen aber trotzdem endliche Kantenlänge auf.