6.4 Einfluss von Singularitäten

Der Integrand in (6.3) ist singulär für $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle r... ... {\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}'$. Zur Studie des Einflusses der Singularität wird das Bereichsintegral in zwei Bereichsintegrale, $I_1$ und $I_2$, aufgespalten

$$I =\int_{{\cal V}} \mathrm{d}V\int_{{\cal V}}\mathrm{d}V' \frac{\ma... ...th$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert}=I_1+I_2\,.$$ (6.3)

Das erste Integral schließt die Singularität aus

$$I_1 =\int\int_{\vert\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\... ...box{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert}$$ (6.4)

und wird wie bisher ausgewertet. Als Bereich für das zweite Integral wird eine kleine Kugel um die Singularität gewählt

$$I_2 =\int\int_{\vert\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\... ...{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert}\,.$$ (6.5)

Da der Abstand $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle r... ... {\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}'$ klein ist, kann die Stromdichte $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle J$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle J... ...{\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}')$ um $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}$ linear entwickelt werden

$$\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle J$}} {\mbox{\boldmath$\... ...} {\mbox{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}') \approx \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle J$}} {\mbox{\bo... ...\mbox{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}')\,.$$ (6.6)

Eingesetzt in $I_2$ ergibt sich

$$I_2=\int_{\cal V}\mathrm{d}V \,\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displ... ...$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert}}^{I_{22}}\,,$$ (6.7)

$$I_{21}=\int_{\,\,\quad\vert\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displayst... ...ptstyle r$}}'\vert} =\int_0^\delta\frac{4\pi R^2}{R}\mathrm{d}R=2\pi\delta^2\,.$$ (6.8)

Das Integral $I_{22}$ verschwindet aus Symmetriegründen

$$I_{22} =\int_{0}^\delta\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}R^2\sin\vartheta \ma... ...n\varphi\\ R\cos\vartheta \end{array}\right)=0\,.%\notag%\,.\\ [+2mm]%\vect{0}$$ (6.9)

Durch die Darstellung

$$I =\int\int_{\vert\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\... ...h$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}) \cdot2\pi\delta^2$$ (6.10)

wird eine Sensitivitätsanalyse möglich, die den Einfluss des Parameters $\delta$ klärt. Die Auswertung obiger Formulierung hat ergeben, dass mit zunehmender Verkleinerung von $\delta$ der Beitrag des zweiten Terms verschwindet^6.2. Damit ist gezeigt, dass bei der Monte Carlo Methode kein Einfluss der Singularität auftritt, da für den Grenzübergang $\delta \rightarrow 0$ obige Formulierung in die ursprüngliche übergeht.

Fußnoten

... verschwindet^6.2

Typische Größenordnung von $\delta$=2 nm für die räumliche Leiterschleife (s. Abschnitt 8.2), ab der kein Beitrag mehr zum zweiten Term geliefert wird, d.h. für $\vert\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath$\textstyl... ...box{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}}'\vert<$ 2 nm kann das zweite Integral vernachlässigt werden. $\delta$ ist allerdings kein konstanter Faktor, sondern hängt von den Größe des jeweiligen Beispiels ab. Als Richtwert kann für die räumliche Leiterschleife angegeben werden, dass $\delta$ 2 % der kürzesten Kantenlänge eines typischen Tetraederelements beträgt.