Abbildung 7.7: Entwicklung des Drainstromes und der relativen Norm der
Inkremente während der Monte-Carlo-Poisson-Iteration für
zwei verschiedene
Transistoren bei
.
In der Abbildung 7.7 wird das Konvergenzverhalten der Monte-Carlo-Poisson-Kopplung an Hand der beiden kürzeren Transistoren verdeutlicht. Bei der Iterationszahl null in Abbildung 7.7 (a) und (b) ist der Drainstrom entsprechend der Anfangslösung aufgetragen, die aus einer Drift-Diffusionssimulation gewonnen wird. Bei der Iterationszahl eins werden die erweiterten Halbleiter-Gleichungen das erste mal mit einer von der Gittertemperatur verschiedenen Trägertemperatur und der nichtlokalen Beweglichkeit aus der Monte-Carlo-Rechnung gelöst. Diese erstmalige Berücksichtigung der Monte-Carlo-Drift-Diffusions-Kopplungskoeffizienten führt zu einem signifikanten Anstieg im Drainstrom. Mit zunehmender Iterationszahl nimmt der Drainstrom als Folge der Poisson-Kopplung wieder ab und erreicht einen stationären Wert, der auf Grund des statistischen Charakters der Monte-Carlo-Methode mit geringfügigen Schwankungen behaftet ist.
Im folgenden wird als Abstandsmaß zwischen zwei Lösungsvektoren die relative Norm nach [81] verwendet. Diese relative Norm besitzt den Vorteil, daß sie zusätzlich die Axiome einer Metrik erfüllt. Eine zweidimensionale Verteilung, die man mit der Monte-Carlo-Methode erhält, kann man sich so vorstellen, daß sie sich von der exakten Verteilung, die der Lösung der Boltzmanngleichung entsprechen würde, durch ein örtlich verteiltes Rauschen unterscheidet. Rechnet man etwa ein und dasselbe Problem mit zwei verschiedenen Anfangswerten für den Zufallszahlengenerator, so werden sich zwei verschiedene Lösungen ergeben, die sich ebenfalls um ein Rauschen unterscheiden. Dieses Rauschen geht natürlich mit gegen unendlich strebender Teilchenzahl gegen null, in praktischen Simulationen ist es wegen der endlichen Teilchenzahl immer vorhanden. Dieses Verhalten äußert sich in den folgenden Darstellungen dadurch, daß Fehlernormen, die im Idealfall gegen null gehen würden, nur unter eine bestimmte Schranke fallen und dann im Mittel konstant bleiben.
In Abbildung 7.7 (c) und (d) ist die Entwicklung der
relativen Normen der Potential- und der Elektronenkonzentrations-Inkremente
dargestellt. Bei beiden Transistoren fällt die relative Norm der
Potential-Inkremente unter 
. Beim 
-Transistor tritt Konvergenz
im Rahmen der erreichbaren Genauigkeit sowohl beim Drainstrom als auch bei den
Fehlernormen nach nur 5 Iterationen ein. Beim 
-Transistor lassen sich
nach 5 Iterationen ebenfalls keine systematischen Veränderungen mehr
feststellen.
Abbildung 7.8: Entwicklung des Drainstromes und der relativen Norm der
Inkremente während der Monte-Carlo-Poisson-Iteration für einen
-Transistor bei den Gatespannungen 
und
Zum Vergleich mit den beiden kurzen Transistoren wird der -Transistor
untersucht, wobei noch zusätzlich der Einfluß der Gatespannung betrachtet
wird. Auf Grund des längeren Kanals kann erwartet werden, daß nur ein
geringerer
Anteil der Kanalladung nicht durch das Drift-Diffusionsmodell beschreibbar ist und in der
Folge weniger stark ausgeprägte Effekte während der Monte-Carlo-Poisson-Iteration
auftreten werden.
Diese Erwartung wird durch die Abbildung 7.8 bestätigt. Bei
tritt im Drainstrom überhaupt kein Überschwingen auf. Bei dieser geringen
Gatespannung wird die bewegliche Ladung im Kanal klein sein.
Daher wird die Potentialverteilung hauptsächlich von der Raumladung in den
Depletionszonen bestimmt, die aber von der Monte-Carlo-Poisson-Kopplung
praktisch nicht beeinflußt wird. Die relative Kleinheit der Kanalladung
im Vergleich zur Elektronenladung in Source und Drain bewirkt auch die deutlich
geringere Norm der Elektronenkonzentrations-Inkremente in
Abbildung 7.8 (c).
Bei einer Gatespannung von 
, bei der sich ein stärkerer Kanal ausbilden
wird, tritt ein geringes Überschwingen im Drainstrom auf
(Abbildung 7.8 b). Obwohl der Wert bei der Iterationszahl eins nur
geringfügig über dem Stationärwert liegt,
sind trotzdem etwa 5 Iterationen erforderlich, um diesen
Stationärwert zu erreichen.
Während der Abfall beim Drainstrom zwischen der 1. und 5. Iteration
gering ist, ist er in den Normen deutlich ausgeprägt
(Abbildung 7.8 d). Es ist zu beobachten, daß die relative Norm der
Potential-Inkremente bei beiden Gatespannungen wieder deutlich unter
fällt.
Der Stationärwert des Drainstromes liegt für beide Gatespannungen über dem Strom des Drift-Diffusionsmodells (entspricht der Iterationszahl null). Dies hängt damit zusammen, daß das Oberflächenstreumodell des Monte-Carlo-Teiles nur näherungsweise mit der Grenzflächenbeweglichkeit des Drift-Diffusionsmodells abgestimmt ist. Es stellt sich aber die Frage, ob das verwendete Oberflächenstreumodell, das nur einen einzigen einstellbaren Parameter besitzt, über einen größeren Normalfeldstärkebereich hinreichend genau kalibriert werden kann.