Unterabschnitte

• Feldberechnung
• Randbedingungen
• Teilwiderstände

2.2 Leitungswiderstand

Gemäß dem Ohm'schen Gesetz ist der elektrische Widerstand eines Leiters als das Verhältnis von Klemmenspannung und Strom definiert:

$$R=\frac{U}{I}\;.$$ (2.23)

Der Widerstand einer Leitung kann nun berechnet werden, indem man an den Enden des Leiters eine Spannung anlegt und den Leitungsstrom durch Integration über eine Kontaktfläche des Leiters $\Gamma _i$ ermittelt

$$I=\int_{\Gamma _i}\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle J$}} ... ...math$\scriptstyle n$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle n$}}\,\textrm{d}A\;,$$ (2.24)

oder man erhält den Widerstand aus der elektrischen Verlustleistung im Leiter

$$P=\frac{U^2}{R}=\int_{\Omega}\!\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displ... ...scriptstyle J$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle J$}}\,\textrm{d}\Omega \;.$$ (2.25)

Feldberechnung

Für die Berechnung des elektrischen Feldes geht man wieder vom zeitlich unveränderlichen Fall aus und nimmt die elektrische Feldstärke als reines Gradientenfeld gemäß (2.10) an. Ferner lässt sich zeigen, dass die Stromdichte $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle J$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle J$}} {\mbox{\boldmath $\scriptstyle J$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle J$}}$ quellenfrei ist, indem man den Divergenzoperator auf (2.8) anwendet:

$$\mathop\mathrm{div}\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle J$}}... ...\mbox{\boldmath$\scriptstyle J$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle J$}}=0\;.$$ (2.26)

Setzt man nun (2.7) ein, erhält man die folgende Differentialgleichung für das elektrische Potenzial in einem Leiter

$$\mathop\mathrm{div}(\gamma\mathop\mathrm{grad}\varphi)=0$$ (2.27)

mit der Leitfähigkeit $\gamma$. Man erkennt, dass diese Gleichung vom gleichen Typ wie (2.16) ist.

Randbedingungen

Der Bereich $\Omega$, auf dem (2.27) gelöst werden soll, entspricht dem Inneren des stromführenden Leiters. Der Teil der Oberfläche, der ausschließlich von Isolatoren umgeben ist und keine Kontakte enthält ($\Gamma _a$), stellt für das Potenzial eine homogene Neumann-Bedingung dar, da kein Strom vom Leiter in den Isolator fließen kann ( $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle J$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle J... ...{\mbox{\boldmath $\scriptstyle n$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle n$}}=0$), und somit gilt:

$$\forall \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\bo... ...mbox{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}})=0\;.$$ (2.28)

An den Kontaktflächen $\Gamma _i$ wird üblicherweise ein konstantes Potenzial $V_i$ vorgegeben, was eine Dirichlet-Bedingung darstellt:

$$\forall \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\bo... ...ox{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}})=V_i\;.$$ (2.29)

Alternativ zu einem konstanten Potenzial könnte man auch an den Kontakten eine konstante Stromdichte $J_i$ (normal zur Oberfläche) einprägen (inhomogene Neumann-Bedingung)

$$\forall \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\bo... ...ox{\boldmath$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}})=J_i\;.$$ (2.30)

Wenn man hingegen anstatt der Stromdichteverteilung den Gesamtstrom $I_{\mathrm f}$ angeben möchte und gleichzeitig ein konstantes Potenzial mit einem noch unbekannten Wert $V_{\mathrm f}$ fordert, ergibt das eine schwebende Randbedingung

$$\forall \mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle r$}} {\mbox{\bo... ...th$\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle r$}})=V_{\mathrm f}\;,$$ (2.31)

$$\oint_{\Gamma _i}(\gamma\mathop\mathrm{grad}\varphi)\mathchoice{\... ...e n$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle n$}}\,\textrm{d}A = I_{\mathrm f}\;.$$ (2.32)

Wenn das Gebiet $\Omega$ ausschließlich von Neumann-Bedingungen oder schwebenden Randbedingungen umgeben ist, dann hat (2.27) keine eindeutige Lösung für das Potenzial. Durch die Wahl eines beliebigen Potenzialwertes in einem beliebigen Punkt $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle p$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle p... ...\boldmath $\scriptstyle p$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle p$}}\in\Omega$ kann die Eindeutigkeit wieder hergestellt werden

$$\varphi(\mathchoice{\mbox{\boldmath$\displaystyle p$}} {\mbox{\bo... ...boldmath$\scriptstyle p$}} {\mbox{\boldmath$\scriptscriptstyle p$}}\in\Omega\;.$$ (2.33)

Die folgende globale Verträglichkeitsbedingung muß immer erfüllt sein

$$\sum_i\int_{\Gamma _i}\!\!J_i\,\textrm{d}A + \sum_i I_{\mathrm f}=0\;.$$ (2.34)

Sie sagt aus, dass die Summe der Ströme (bzw. Stromdichten) über die gesamte Leiteroberfläche gleich Null sein muss. Ist mindestens eine Dirichlet-Bedingung vorhanden, so erfüllt die Lösung für das Potenzial $\varphi$ diese Bedingung automatisch, gibt es jedoch nur Neumann'sche und schwebende Randbedingungen, so muss (2.34) für den Rand garantiert sein.

Teilwiderstände

Wenn ein Leiter mehr als nur zwei Kontakte aufweist, kann man ähnlich wie zuvor bei den Teilkapazitäten Teilwiderstände definieren (Abb. 2.5).

Abbildung 2.5: Sechs Teilwiderstände als Ersatzschaltung für eine Leitung mit vier Kontakten

Für die Berechnung der $\frac12n(n-1)$ Teilwiderstände, die von $n$ Kontakten gebildet werden, benötigt man die Leistungen $P$ für $\frac12n(n-1)$ verschiedene Konfigurationen von Kontaktpotenzialen, um aus einem linearen System von $\frac12n(n-1)$ Gleichungen der Form

$$P=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\frac{1}{R_{ij}}(V_i-V_j)^2$$ (2.35)

die Reziprokwerte der Teilwiderstände (das sind die Teilleitwerte) als Lösung zu erhalten.