Bei der Diskretisierung mit Finiten Differenzen werden die Ableitungen des Differentialoperators durch Differenzenquotienten angenähert. Man verwendet dazu üblicherweise ein strukturiertes Gitter und erhält für jeden Knoten eine algebraische Gleichung in den unbekannten Funktionswerten des Gitterpunktes und seiner Nachbarn.
Das resultierende Gleichungssystem hat eine spärlich besetzte Systemmatrix und kann mit iterativen Verfahren effizient gelöst werden.
Beim klassischen Finite Differenzen-Ansatz sind die Gitterlinen zu den Koordinatenachsen parallel (Ortho-Produkt-Gitter). Solche Gitter sind sehr einfach zu erzeugen und es werden keine aufwendigen Datenstrukturen benötigt. Ein effizienter Zugriff auf die Gitterpunkte und den ihnen zugeordneten Funktionswerten kann mit geringem Aufwand implementiert werden. Ein solcher Ansatz ist aber nur für rechteckige bzw. quaderförmige Simulationsgebiete geeignet. Er kann jedoch für Gebiete, deren Berandung nicht achsparallel ist, durch Einfügen zusätzlicher Gitterknoten an den Schnittpunkten der Berandung mit den Gitterlinien erweitert werden. Ortho-Produkt-Gitter haben den Nachteil, dass man aufgrund ihrer Regelmäßigkeit nur sehr wenig Einfluss auf die Gitterdichte nehmen kann. Abhilfe lässt sich durch sogenannte Terminating Gridlines schaffen. Darunter versteht man, dass einzelne Gitterlinien (bzw. in 3D Gitterebenen) lediglich in Bereichen, wo hohe Gitterdichte gewünscht ist, existieren und außerhalb abgebrochen werden (Abb. 3.1). Man verliert dadurch allerdings den Vorteil der regelmäßigen Datenstruktur.
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\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}\centerline{\hss\resizebox{\lin...
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Die Methode der Finiten Differenzen kann aber auch für allgemein berandete Gebiete verwendet werden, indem man das Gebiet sowie den Differentialoperator auf ein Quader bzw. Rechteckgebiet transformiert. Eine Verallgemeinerung der Finite Differenzen Methode auf unstrukturierte Gitter (z.B. Dreiecks- oder Tetraedergitter) kann mittels Boxintegration erreicht werden. Durch die Geometriekonformität unstrukturierter Gitter lassen sich damit Ränder und Materialgrenzen einfacher behandeln und brauchen nicht mehr mit extrem hohen Gitterdichten aufgelöst werden.
Die Finite Differenzen Methode wird häufig in der Simulation von Halbleiterbauelementen zur Diskretisierung der Halbleitergleichungen eingesetzt, kann aber freilich auch zur Kapazitätsberechnung herangezogen werden [74,75,76,77]. In [78] wird mittels Finiter Differenzen eine Diskretisierung der kompletten Maxwell-Gleichungen und eine Lösung im Zeitbereich erreicht.