3.2 Finite Elemente

Bei der Finiten Elemente Methode (FEM) wird versucht, die unbekannte exakte Lösung der partiellen Differentialgleichung durch die gewichtete Summierung einer Reihe vom Ansatzfunktionen ,,möglichst gut`` anzunähern. Dafür wird meist ein unstrukturiertes geometriekonformes Gitter (Dreiecksgitter, Tetraedergitter, ...) benutzt. Die einzelnen Ansatzfunktionen sind in der Regel den Gitterpunkten zugeordnet<sup>3.1</sup>und werden so gewählt, dass am Rand zumindest die Dirichlet-Bedingungen exakt erfüllt sind. Die Ansatzfunktionen sollen so formuliert sein, dass mit ausreichend großer Anzahl von Ansatzfunktionen jede exakte Lösung mit beliebiger Genauigkeit angenähert werden kann. Die ,,möglichst gute`` Näherung erreicht man, indem man die Differenz zwischen exakter und Näherungslösung, das Residuum, gewichtet über das Simulationsgebiet integriert und dabei fordert, dass für einen Satz von linear unabhängigen Gewichtsfunktionen diese Integrale verschwinden (Methode der gewichteten Residuen). Alternativ dazu lässt sich eine Näherungslösung finden, indem man die partielle Differentialgleichung als Variationsproblem formuliert und das erhaltene Funktional stationär werden lässt (Verfahren von Ritz).

Beide Methoden erfordern die Lösung eines Integrals über das gesamte Simulationsgebiet, was durch Summierung über die Beiträge der einzelnen Gitterelemente erreicht wird. Programmiertechnisch lässt sich durch die abstrakte Formulierung von Gitterelementen ein objektorientierter Ansatz verwirklichen und ein einheitlicher Programmablauf für verschiedene Arten von Gitterelementen (z.B. ein-, zwei- oder dreidimensionale) wird möglich.

Durch geeignete Wahl der Ansatzfunktionen (Anpassung an die erwartete Lösung, bzw. an die Eigenfunktionen des Differentialoperators) lässt sich mit Finiten Elementen eine hohe Genauigkeit selbst bei geringer Gitterdichte erreichen. Mehrere Teilbereiche mit unterschiedlichen Materialeigenschaften ($\gamma$, $\gamma_T$, $\makebox{\boldmath $\underline\varepsilon$}$) stellen kein Problem dar, ebenso lassen sich Anisotropie, Inhomogenitäten und Nichtlinearitäten berücksichtigen.

Werden bei der Finiten Elemente Methode keine Randbedingungen angegeben, so erhält man an diesen Stellen automatisch homogene Neumann-Bedingungen (natürliche Randbedingungen). Dies erweist sich besonders bei der Widerstandsberechnung als vorteilhaft, da dort der größte Teil der Leiteroberfläche ein Neumann-Rand ist.

Eine nachteilige Eigenschaft ist, dass sich die Konditionszahl der Systemmatrix mit steigender Gitterdichte verschlechtert [79]. Erfahrungsgemäß muss man vor allem bei der Widerstandsextraktion darauf Rücksicht nehmen, da die hier auftretenden Gleichungssysteme ohnehin schlecht konditioniert sind. Dies wird durch die meist langgestreckten, isotrop vergitterten geometrischen Strukturen verursacht. Es empfiehlt sich deshalb in diesem Fall anstatt eines iterativen ein direktes Lösungsverfahren anzuwenden (z.B. Gauß'sche Elimination). Der an sich höhere Aufwand an Rechenzeit und Speicherbedarf bei der Gauß'schen Elimination lässt sich durch geeignete Wahl der Eliminationsreihenfolge [80] sowie durch das Zusammenlegen mehrerer Knoten zu sogenannten Articulation Nodes [81] deutlich reduzieren.

Bei der Kapazitätsberechnung ist das entstehende lineare Gleichungssystem meist sehr gut konditioniert und die Lösung kann mit iterativen Lösungsverfahren sehr effizient ermittelt werden [82,83,84].

Mit der FEM erhält man eine Näherungslösung der gesuchten physikalischen Größe, die nicht nur in den Gitterknoten, sondern am gesamten Simulationsgebiet definiert ist--im Gegensatz zur FDM, wo die Lösung streng genommen nur auf den Gitterpunkten bekannt ist.

Fußnoten

... zugeordnet^3.1

Bei der Berechnung von Vektorfeldern verwendet man oft auch Ansatzfunktionen, die den Gitterlinien zugeordnet sind. Die Gitterelemente werden dann ,,Edge Elements`` (Kantenelemente) genannt.