3.6 Zusammenfassung der Feldberechnungsmethoden

In den folgenden Absätzen soll die Anwendbarkeit der vorhin genannten Methoden zur numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen im Hinblick auf die in dieser Arbeit behandelten Problemstellungen untersucht werden.

Die Kapazitätsextraktion

kann sehr effizient mit der BEM durchgeführt werden, vor allem dann, wenn man eine weitere Beschleunigung mittels Multipolverfahren und näherungsweiser Matrixinversion erreichen kann. Ein weiterer Vorteil der BEM ist, dass das elektrische Feld bis ins Unendliche implizit berücksichtigt wird und nicht wie bei den anderen Verfahren ein Fehler durch das begrenzte Simulationsgebiet auftritt. Für die automatische Kapazitätsextraktion auf sehr großen Gebieten (bis zu kompletten Chips) zeichnet sich die Random Walk Methode durch ihren äußerst geringen Speicherbedarf aus. Beide Verfahren scheitern jedoch bei inhomogen oder nichtlinearen dielektrischen Medien. In diesen Fällen können nur volumenorientierte Methoden wie FDM oder FEM [111,112,84] angewendet werden. Auch anisotrope Materialeigenschaften können mit den letztgenannten Verfahren sehr leicht implementiert werden.

Zur Widerstandsextraktion

wird am häufigsten die FEM verwendet, da damit einerseits eine gute Genauigkeit erzielt werden kann, andererseits mittels ,,Articulation Nodes`` und optimierter Eliminationsreihenfolge sowohl die Laufzeit als auch mit dem ,,Scanline``-Verfahren [80] der Speicherbedarf gering gehalten werden kann. Prinzipiell kann natürlich auch die BEM angewendet werden, praktisch ist ihre Verwendung jedoch auf die Extraktion von Substratwiderständen beschränkt, da in den Leitungen aufgrund der vielen Neumann'schen Rändern keine hohe Effizienz erreicht werden kann. Mittels Finiter Differenzen können Widerstände nur dann genau berechnet werden, wenn die Randflächen der Leitungen parallel zu den Gitterebenen liegen (oder anders ausgedrückt das Gitter geometriekonform ist), da ansonsten eine sehr hohe Gitterdichte notwendig wäre.

Thermische Simulationen

können aufgrund der Nichtlinearitäten, die durch die Temperaturabhängigkeit der elektrischen und thermischen Leitfähigkeit entstehen, nur mit volumenorientierten Verfahren wie FEM [113,114,115] oder FDM berechnet werden. Randorientierte Methoden wie die BEM scheiden dafür aus.

Transiente Elektrische Simulationen

können mit der BEM nur dann gelöst werden, wenn man die Methode mit einem Volumsintegral erweitert, da durch die Formulierung gemäß (2.38) auch Raumladungen auftreten können. Auf das Volumsintegral kann jedoch verzichtet werden, wenn der spezifische Widerstand der Leiter sehr klein ist, sodass man weiterhin annehmen kann, dass die Ladung an der Oberfläche verteilt ist. Voraussetzungen für die BEM sind natürlich homogene und lineare Materialien, anderenfalls muss mit FEM oder FDM diskretisiert werden.

In dieser Arbeit soll zur Lösung der partiellen Differentialgleichungen ausschließlich die Finite Elemente Methode herangezogen werden. Folgende Kriterien haben zu dieser Auswahl geführt:

• die Fähigkeit nichtlineare und inhomogene Probleme zu lösen,
• die gute numerische Robustheit,
• die Anwendbarkeit auf alle vorkommenden Gleichungstypen und
• die hohe Genauigkeit, die mit dieser Methode erreicht werden kann.

Zum Abschluss sind in Tab. 3.1 einige Eigenschaften der wichtigsten Diskretisierungsverfahren im Überblick dargestellt.

Tabelle 3.1: Vergleich verschiedener Diskretisierungsmethoden (FEM = Finite Elemente Methode, FDM = Finite Differenzen Methode, BEM = Boundary Element Methode)