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In den folgenden Absätzen soll die Anwendbarkeit der vorhin genannten
Methoden zur numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen im
Hinblick auf die in dieser Arbeit behandelten Problemstellungen untersucht
werden.
kann sehr effizient mit der BEM durchgeführt werden, vor allem dann,
wenn man eine weitere Beschleunigung mittels Multipolverfahren und
näherungsweiser Matrixinversion erreichen kann.
Ein weiterer Vorteil der BEM ist, dass das elektrische Feld bis ins Unendliche
implizit berücksichtigt wird und nicht wie bei den anderen Verfahren ein Fehler
durch das begrenzte Simulationsgebiet auftritt.
Für die automatische Kapazitätsextraktion auf sehr großen Gebieten
(bis zu kompletten Chips) zeichnet sich die Random Walk Methode durch ihren
äußerst geringen Speicherbedarf aus.
Beide Verfahren scheitern jedoch bei inhomogen oder nichtlinearen
dielektrischen Medien.
In diesen Fällen können nur volumenorientierte Methoden wie FDM oder FEM
[111,112,84] angewendet werden.
Auch anisotrope Materialeigenschaften können mit den letztgenannten Verfahren
sehr leicht implementiert werden.
wird am häufigsten die FEM verwendet, da damit einerseits eine gute
Genauigkeit erzielt werden kann, andererseits mittels ,,Articulation Nodes``
und optimierter Eliminationsreihenfolge sowohl die Laufzeit als auch mit
dem ,,Scanline``-Verfahren [80] der Speicherbedarf gering gehalten
werden kann.
Prinzipiell kann natürlich auch die BEM angewendet werden, praktisch ist
ihre Verwendung jedoch auf die Extraktion von Substratwiderständen
beschränkt, da in den Leitungen aufgrund der vielen Neumann'schen
Rändern keine hohe Effizienz erreicht werden kann.
Mittels Finiter Differenzen können Widerstände nur dann genau berechnet
werden, wenn die Randflächen der Leitungen parallel zu den Gitterebenen
liegen (oder anders ausgedrückt das Gitter geometriekonform ist), da ansonsten
eine sehr hohe Gitterdichte notwendig wäre.
können aufgrund der Nichtlinearitäten, die durch die Temperaturabhängigkeit
der elektrischen und thermischen Leitfähigkeit entstehen, nur mit
volumenorientierten Verfahren wie FEM [113,114,115]
oder FDM berechnet werden.
Randorientierte Methoden wie die BEM scheiden dafür aus.
können mit der BEM nur dann gelöst werden, wenn man die Methode mit einem
Volumsintegral erweitert, da durch die Formulierung gemäß (2.38)
auch Raumladungen auftreten können.
Auf das Volumsintegral kann jedoch verzichtet werden, wenn der spezifische
Widerstand
der Leiter sehr klein ist, sodass man weiterhin annehmen kann, dass die Ladung
an der Oberfläche verteilt ist.
Voraussetzungen für die BEM sind natürlich homogene und lineare Materialien,
anderenfalls muss mit FEM oder FDM diskretisiert werden.
In dieser Arbeit soll zur Lösung der partiellen Differentialgleichungen
ausschließlich die Finite Elemente Methode herangezogen werden.
Folgende Kriterien haben zu dieser Auswahl geführt:
- die Fähigkeit nichtlineare und inhomogene Probleme zu lösen,
- die gute numerische Robustheit,
- die Anwendbarkeit auf alle vorkommenden Gleichungstypen und
- die hohe Genauigkeit, die mit dieser Methode erreicht werden kann.
Zum Abschluss sind in Tab. 3.1 einige Eigenschaften der wichtigsten
Diskretisierungsverfahren im Überblick dargestellt.
Tabelle 3.1:
Vergleich verschiedener Diskretisierungsmethoden (FEM = Finite
Elemente Methode, FDM = Finite Differenzen Methode, BEM = Boundary Element
Methode)
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R. Sabelka: Dreidimensionale Finite Elemente Simulation von Verdrahtungsstrukturen auf Integrierten Schaltungen