Ausgehend vom Ritzschen Verfahren werden nun die Funktionen als Polynome definiert, welche nur mehr in einem Teilgebiet, dem sogenannten finiten Element, gültig sind. Die Stützpunkte der Polynome werden auch Knoten genannt. Diese bilden Stützstellen für die Funktionsapproximation.
Für die Assemblierung der Gesamtmatrix ist es günstig, eine lokale Knotennumerierung 
einzuführen,
welche innerhalb eines Elements gültig ist. Die 
lokalen Knoten besitzen eine eindeutige Abbildung oder Transformation 
auf die globalen Knoten 
im Gesamtgitter. Eine einfache Möglichkeit ist,
jedem Element ein Indexfeld der Länge zuzuordnen,
welches die globalen Gitterknotennummern enthält, um so eine eindeutige Transformationsvorschrift zu erhalten.
Dadurch ist auch eine einfache Zuordnung der Elementsformfunktionen
im Gesamtgitter gegeben (siehe auch Abschnitt 3.9).
Ingesamt gibt es 
Gitterknoten, wobei die Randknoten
eines Elements von anderen Elementen mitbenutzt werden. Die 
eines Elements sind daher
nicht nicht frei optimierbar, sondern die Nachbarelemente werden in den Optimierungsvorgang
miteinbezogen. Das heißt auch, der Funktionswert im Knoten
wird aus den Elementsformfunktionen gebildet, die ihn als Stützpunkt verwenden.
Besitzt nun die Formfunktion 
die spezielle
Interpolationseigenschaft am Knoten , sodaß
gilt, dann haben die an den Knotenpunkten die Bedeutung der Funktionswerte.
Um die Knoten mit Freiheitsgrad von Knoten ohne Freiheitsgrad, auf denen
Dirichlet-Randbedingungen spezifiziert sind, zu trennen, soll der Bereich 
für
Dirichlet-Knoten bestimmt sein.
Damit kann der Ritzschen Ansatz (3.7) als
geschrieben werden.
Das Verschwinden der ersten partiellen Ableitungen
nach den unbekannten Knotenkoeffizienten
ist eine notwendige Bedingung für die Stationarität des Variationsintegral (3.2).
