Kritische Winkel und Radien

Dieser Abschnitt soll nun klären, welche Kriterien man aufstellen kann, um die Unterscheidung zwischen Ionen zu ermöglichen, die sich entweder in Random- oder Channeling-Richtung bewegen. Es soll aber ausdrücklich darauf hingewiesen werden, daß sich in Monte Carlo Programmen diese Unterscheidung automatisch ergibt. Einen ausgezeichneten Überblick über den aktuellen Stand der Channeling-Theorie und deren Modellierung bietet Hobler in [Hob96].

Um aus der Channeling-Theorie quantifizierbare Ergebnisse zu erhalten, müssen die interatomaren Potentiale zwischen dem Ion und den ,,Target``-Atomen (Gleichung 2.14) durch Kontinuumspotentiale ersetzt werden, die
durch Mittelung der interatomaren Potentiale in Richtung der Atomreihen und -ebenen entstehen [Lin65]. In weiterer Folge kann die geführte Bewegung der Ionen in der zum Kanal transversalen Ebene bzw. Richtung als Bewegung im Kontinuumspotential studiert werden.

  
Abbildung 2.25: Schematische Darstellung einer Ionentrajektorie in einem axialen Kanal fuer [EK95].

Es läßt sich zeigen, daß das Ion nicht exakt parallel zu einer Atomebene oder -reihe fliegen muß. Selbst wenn der Geschwindigkeitsvektor des Ions einen Winkel mit der Kanalachse einschließt, kann Channeling auftreten. Die einzige Bedingung ist ein Winkel kleiner als ein kritischer Winkel (siehe Abbildung 2.25). In Tabelle 2.4 sind einige kritische Winkel für Channeling von Bor, Phosphor und Antimon in Silizium angegeben.

  
Tabelle 2.4: Kritische Winkel fuer Channeling von Bor (B), Phosphor (P) und Antimon (Sb) in Silizium [May70, Rys86c]. Es ist zu erkennen, dass mit zunehmender Ordungszahl und abnehmender Ionenenergie der kritischen Winkel und somit auch die Wahrscheinlichkeit fuer ,,Channeling`` groesser wird.

Das Konzept des kritischen Winkels wird verständlich, wenn man sich die Gesamtenergie des Ions E in zwei Komponenten zerlegt vorstellt -- ein Teil parallel zum Kanal und einer normal zu diesem . Solange die Normalkomponente kleiner als das abstoßende Kontinuumspotential der Atome ist, bleibt das Ion im Kanal. Anders ausgedrückt endet die Stabilität für Channeling dort, wo auch das Kontinuumspotential seine Gültigkeit verliert, denn nur dann kann das Ion den Atomen näher kommen, stark gestreut werden und den Kanal verlassen.

Im Kontinuumspotential erleidet das Ion in Richtung parallel zum Kanal keinen Enerergieverlust, wenn inelastische Energieverluste vernachlässigt werden, und es ergibt sich zu [Lin65]

 
Aus dieser Transversalenergie folgt ein maximaler Winkel sowie ein minimaler Radius für die Annäherung an die Atomreihen bzw.\ -ebenen, denn

• erreicht genau dort seinen Maximalwert, wo das Kontinuumspotential sein Minimum hat (also in der Mitte des Kanals)

  
   
  

• Fliegt das Ion hingegen parallel zur Kanalachse (), wird laut Gleichung 2.34 und das Potential erreicht bei einem minimalen Abstand ein Maximum nach Gleichung 2.36

  
   
  

Definiert man nun den kritischen Abstand   als die minimale Entfernung zwischen Ion und Atomreihen oder -ebenen, bei dem gerade noch ,,Channeling`` möglich ist, so ergibt sich, daß mindestens sein muß, denn diesen Abstand kann das Ion bei bestmöglichen Umständen () erreichen. Gleichung 2.36 führt auf Gleichung 2.37

 
Der maximale Winkel ist natürlich nichts Anderes als der kritische Winkel . Setzt man Gleichung 2.37 in Gleichung 2.35 ein, so erhält man Gleichung 2.38

  
Abbildung 2.26: Der kritische Winkel und Radius als Funktion der Ionenenergie. stellt die minimale Energie für das Auftreten von Channeling dar. Die punktierte Linie ergäbe sich, wenn man nur eine Atomreihe bzw. -ebene betrachten würde. bezeichnet die minimale Energie, bei der ,,Channeling`` gerade noch möglich ist [Hob96].

Sehr interessant ist in diesem Zusammenhang die Tatsache, daß bei niederen Energien E das Channeling-Phänomen verschwindet, denn

• der Streuwinkel nimmt bei gegebenen Stoßparameter p zu, wenn die Ionenenergie fällt (siehe Kapitel 2.3),
• und daher muß das Ion bei geringeren Energien weiter von den Atomreihen und -ebenen entfernt bleiben ( wächst, siehe Abbildung 2.26 a), um nicht aus den Kanal gestreut zu werden.
• Wenn nun gleich dem Kanalradius wird (vgl.\ Abbildung 2.25; entspricht auch jeweils den dickausgezogenen Linien in Abbildung 2.19), ist Channeling nicht mehr möglich

  
   
  

• Wird nun die Ionenenergie kontinuierlich vermindert, nimmt zu, und die Stelle, an der man z.B. bestimmen muß, wandert in Richtung Kanalmitte, also zu kleineren Werten hin.
• Im Fall von Gleichung 2.38 nehmen sowohl E als auch ab, wobei aber bei höheren Energien die Änderung in E dominiert, daher gilt

  
  
  

• Verringert sich die Energie weiter und erreicht schließlich (typische Werte sind einige hundert Elektronenvolt für axiales und einige Kiloelektronenvolt für planares ,,Channeling`` [Hob96]), wird zu , die Potentialdifferenz verschwindet endgültig und damit auch der kritische Winkel . In Abbildung 2.26 b) ist dieses Verhalten qualitativ dargestellt.

Für die Auswertung von Gleichung 2.38 und 2.39 benötigt man noch die Abhängigkeit des kritischen Radius von der Energie E. Diese Untersuchung wird ausführlich in [Hob96] dargelegt.