Ein wesentliches Hindernis bei der Suche nach einer Diskretisierung des hydrodynamischen Problems, die von ähnlicher Qualität wie das SCHARFETTER-GUMMEL-Schema für Drift-Diffusion ist, ist die starke Verkopplung des Energiestroms mit dem elektrischen Strom. Die Gleichungen beeinflussen einander sehr stark, und so wäre es wünschenswert, eine Lösung zumindest des eindimensionalen reduzierten Problems zu finden, die zugleich beiden Gleichungen genügt.
Leider ist eine derartige selbstkonsistente Lösung bis heute nicht in Sicht (und es scheint, daß das gekoppelte Problem nicht geschlossen lösbar ist [23]). Die Ansätze zu einer Diskretisierungsformel begnügen sich daher damit, bei einer entkoppelten Behandlung in Temperatur oder Trägerkonzentration unterschiedliche Formulierungen in den beiden Gleichungen zu akzeptieren, und beschränken sich auf den Versuch, diesen Unterschied klein zu halten.
Im vorliegenden Diskretisierungsschema [9] liegt die
unterschiedliche Formulierung bei der Trägertemperatur 
, die
zuerst für die eindimensionale Stromgleichung als linear variierend
angenommen wird, während sie dann in der Energiestromgleichung
explizit bestimmt wird.
Allerdings verwendet das Verfahren in beiden Diskretisierungsansätzen
denselben funktionalen Verlauf der Trägerkonzentration 
. Das
bedeutet gegenüber früheren Verfahren [77][23] eine
verbesserte Approximation, die den Diskretisierungsfehler
verkleinert und damit bei derselben geforderten Gesamtgenauigkeit
gröbere Gitter ermöglicht.
Bei Drift-Diffusions-Modellen ist eine Erweiterung auf variable Bandkantenenergien und Zustandsdichten einfach und wird daher hier nur skizziert. Die Formeln sind z.B. in [73] nachzulesen.
Nimmt man für das Potential lineare Variation zwischen den
Gitterpunkten an, um auf die
SCHARFETTER-GUMMEL-Formel zu kommen, so kann
man das für die Bandkantenenergie ebenfalls tun. Indem man die
Zustandsdichte 
zweckmäßigerweise exponentiell variiert,
sodaß deren logarithmische Ableitung wiederum linear ist, kann man
beide Größen gemeinsam mit dem Potential behandeln.
Statt dem Ausdruck für die treibende Kraft
erhält man die Variante für inhomogene Materialien in der Form
und mit linearer Variation des Klammerausdrucks kann man die Diskretisierung wie für die SCHARFETTER-GUMMEL-Formel durchführen. Die resultierenden Formeln ergeben sich auch als Grenzfall bei konstanter Temperatur aus jenen Ausdrücken, die in diesem Kapitel abgeleitet werden. Dieser Grenzfall wurde schon im Abschnitt 3.3 besprochen.
Die Erweiterung des hydrodynamischen Schemas aus [9] auf variable Bandkantenenergien und Zustandsdichten gestaltet sich nicht ganz so einfach.
Im Fall von Heterostrukturen ist eine ähnliche Vorgangsweise bei der
Bandkantenenergie natürlich gleichfalls möglich. Die Zustandsdichte
muß jedoch getrennt behandelt werden. In der treibenden Kraft
unterscheiden sich nämlich die logarithmische Ableitung der
Zustandsdichte (
) und die Ableitung des
Potentials (
) oder der Bandkantenenergie
(
) um die Temperaturspannung der Trägertemperatur,
und die Trägertemperatur ist nicht mehr konstant und gleich der Gittertemperatur. Daher lassen sich von den drei Größen nur noch zwei in einem gemeinsamen Gradienten zusammenfassen, nämlich das Potential und die Bandkantenenergie.
Als Folge dieser Problematik tritt bei der Lösung der eindimensionalen Differentialgleichungen ein Integral über die inverse ortsveränderliche Zustandsdichte auf (4.29), das nur durch spezielle Ansätze für die Variation der Zustandsdichte zu integrieren ist. Nicht alle der an dieser Stelle möglichen Ansätze ermöglichen ein Endergebnis in geschlossener Form.
Die in dieser Arbeit eingeschlagene Strategie, wie die
ortsveränderliche Zustandsdichte zu interpolieren ist, beschreibt den
besten der bisher versuchten Ansätze. Er garantiert
für den Grenzfall konstanter Temperatur den Übergang auf
die entsprechenden Drift-Diffusionsformeln. Diese werden deshalb
hier auch nicht separat hergeleitet, es genügt, in den Formeln
zu setzen. Für den Grenzfall homogenen
Materials ergibt sich ein Übergang auf die in [9]
beschriebenen Ausdrücke.
