Die Kontinuitätsgleichung für den Stromfluß der Ladungsträger
vom Typ 
lautet:
Dabei ist 
die Stromdichte der Ladungsträger des Typs
(im einfachsten Fall mit je einem Elektronen- und Löcherband also
oder 
); 
ist die Simulationszeit, 
und
sind wie vorhin Elementarladung und Trägerkonzentration, und
ist eine Nettorekombinationsrate der Ladungsträger des
Typs , in der alle Rekombinationsmechanismen und
Transfermechanismen zu anderen Bändern zusammengefaßt sind.
Die Stromdichte ist ein Produkt aus der Beweglichkeit 
,
der Trägerkonzentration und der sogenannten ,,treibenden Kraft``
:
Die Beweglichkeit wird bei Drift-Diffusionsmodellen als eine Funktion vieler Einflußgrößen, besonders der treibenden Kraft, beschrieben, während sie im hydrodynamischen Modell von der Trägertemperatur und anderen Einflußgrößen abhängt:
Die beiden Darstellungen sind miteinander verwandt; durch die Wahl
eines geeigneten lokalen Zusammenhangs 
zwischen treibender Kraft und Temperatur kann man die
Drift-Diffusions-Formulierung aus der hydrodynamischen erhalten.
Die Diffusivität 
ist mit der Beweglichkeit über die
EINSTEIN-Relation verbunden, die für
Drift-Diffusionsmodelle mit der Gittertemperatur,
für hydrodynamische Modelle in verallgemeinerter Form mit der
Ladungsträgertemperatur angeschrieben werden kann:
Dabei ist 
die BOLTZMANN-Konstante.
Daß man den Diffusionskoeffizienten bei der
Drift-Diffusions-Formulierung mit der Gittertemperatur anschreibt,
obwohl die Beweglichkeit und damit auch der Diffusionskoeffizient
aus der Annahme einer lokalen Temperatur 
entstanden sind, bedeutet eine Inkonsistenz des
Drift-Diffusions-Modells, die im hydrodynamischen Modell vermieden
wird.
Im Simulator wird derzeit für Silizium-Bauelemente und
Drift-Diffusions-Formulierungen die Beweglichkeit aus
MINIMOS [30][69] verwendet. Für die Simulation des HEMT
Transistors in Kapitel 11 wurde ein hydrodynamisches Modell
implementiert, das auf Seite 
beschrieben ist.
Außer den Parametern und können alle folgenden
Beziehungen für Drift-Diffusion vereinfacht werden, indem man die
Trägertemperatur 
gleich der konstanten Gittertemperatur
setzt. Wenn man dagegen die Zustandsdichte 
und die
Bandkantenenergie 
konstant hält, ergibt das die aus der
Literatur über Hydromodelle bekannten
Formulierungen [23][62][47][5] für homogene
Materialien (also ohne Heteroschichten).
Die treibende Kraft wird definiert, indem man von der Stromdichte
in 3.22 die entsprechenden Faktoren abspaltet. Leitet man das
Modell für die Stromdichte aus der BOLTZMANN-Gleichung
ab, so ergibt sich für die treibende Kraft ein Ausdruck, der einen
Gradienten der potentiellen Energie 
enthält, ferner einen Gradienten der Konzentration , einen
Term, der die Änderung der Zustandsdichte berücksichtigt,
und einen Gradienten der Trägertemperatur .
Dabei ist 
das elektrische Feld nach (3.3),
die Bandkantenenergie, die als Materialparameter nur ein additiver
Beitrag zum Potential für den speziellen Ladungsträgertyp ist, und
ist die Zustandsdichte (ebenfalls ein Materialparameter).
Im Fall einer reinen Drift-Diffusionsformulierung hat das Vektorfeld
der treibenden Kraft ein Potential, das sogenannte Quasiferminiveau
:
Dagegen gibt es im hydrodynamischen Modell kein solches Quasiferminiveau. Weil der Rotor der treibenden Kraft, der sich zu
errechnet, nicht verschwindet, kann diese kein Potential besitzen. (Wäre
, dann wäre 
Null.)
Nach Ausführen derselben Boxintegration wie für die Poisson-Gleichung und nach dem Ersetzen der Integrale durch geeignete Mittelwerte erhält man die diskretisierte Kontinuitätsgleichung:
Dabei ist 
die Projektion 
der
Stromdichte auf die Verbindungslinie der Punkte 
und 
.
ist eine geeignete Mittelung zwischen den beiden
Gitterpunkten. 
ist der Strom zwischen den beiden
Gitterpunkten. 
und 
sind die geometrischen Daten
der Gitterinformation.
Die Kontrollfunktion zur Kontinuitätsgleichung wird definiert als
und damit erhält die Kontinuitätsgleichung für Ladungsträger vom
Typ die Form
beziehungsweise für alle Ladungsträgerarten in einem Vektor zusammengefaßt die Form
bei der aus den Vektoren 
ein neuer Vektor 
gebildet wurde.
Der Stromfluß läßt sich als allgemeine Funktion der Werte
an den Gitterpunkten und auffassen:
Die Ableitung der Diskretisierungsvorschrift für die Stromdichte ist gemeinsam mit der verwandten Ableitung der Vorschrift für die Energiestromdichte in Kapitel 4 enthalten, wo auf die Voraussetzungen und Eigenschaften der Diskretisierung genauer eingegangen wird. Dort ist auch eine Diskretisierungsvorschrift für die treibende Kraft angegeben, die zur Auswertung der Beweglichkeit bzw. der Diffusivität benötigt wird.
Um den funktionalen Ausdruck für (3.38) zu erhalten, muß
man die Formel (4.44) für die Stromdichte noch mit der
Querschnittsfläche multiplizieren:
mit der Hilfsgröße 
:
Dabei ist
die BERNOULLI-Funktion.
Da der Grenzwert 
des Ausdrucks
sich für diesen Grenzfall mit den Temperaturen in der Klammer
wegkürzt, kann man für konstante Temperatur 
die Stromdiskretisierung wie folgt vereinfachen:
und für ergibt sich:
Die mittlere Diffusivität 
wird im hydrodynamischen
Modell als Funktion einer arithmetisch gemittelten Temperatur
errechnet, im Drift-Diffusionsmodell wird sie zwischen den
Diffusivitäten an den beiden Endpunkten der Verbindungslinie
gemittelt:
Im hydrodynamischen Modell ist es durch die Mittelung der Temperatur besser möglich, die örtliche Diffusivität zwischen den Gitterpunkten darzustellen.
Für das transiente Problem wird eine Rückwärts-Euler-Diskretisierung verwendet. Das bedeutet, daß alle Modelle, Gleichungen, etc. für den aktuellen Zeitschritt formuliert werden, nur bei der Zeitableitung gehen die alten Variablenwerte als Konstante in die Gleichungen ein:
Dabei ist der aktuelle Zeitpunkt (die aktuelle
Simulationszeit), 
der vorhergehende Zeitpunkt und
die Länge des letzten Zeitschritts. Für die Berechnung
des aktuellen Zustands des Bauelements ist nur die Information über
den Zustand im vorhergehenden Zeitschritt notwendig, weiter
zurückliegende Zeitschritte wirken sich nicht auf die Simulation aus.
