Von einer Verallgemeinerung der Formeln (5.2) und (5.3) für Finite Boxen erwartet man sich, daß im Spezialfall einer rechteckigen Box dasselbe Ergebnis entsteht, daß aber keine Richtungsabhängigkeiten (keine ausgezeichneten Richtungen) enthalten sind und daß keine Information über gegenüberliegende Punkte benötigt wird.
Zuerst ist es notwendig, auf eine allgemeine Summation über die Nachbarpunkte zu kommen. In der Form (5.2) und (5.3) sind jeweils nur zwei Nachbarn vertreten. Man kann diese Formeln jedoch auch als Summation über alle vier Nachbarn verstehen, wobei jeweils zwei davon mit dem Koeffizienten 0 multipliziert sind.
Um diese Multiplikation mit 0 zu erreichen, kann man die vorhandenen Terme umformen; in (5.2) beispielsweise durch:
was sich für die Punkte 
und 
ermöglicht, weil
deren 
-Koordinate 0 ist. Der letzte Ausdruck dieser
Umformung hat den Vorteil, daß er für die Punkte 
und
Null ergibt.
In analoger Weise werden die Ausdrücke der Gleichung (5.3)
behandelt.
Die Gleichungen (5.2) und (5.3) sind nach den beiden Koordinaten getrennt. Jede dieser Gleichungen kann man nach Belieben skalieren. Für den Fall, daß auch schräge Boxgrenzflächen auftreten, also Verbindungslinien zwischen Gitterpunkten, die nicht achsenparallel sind, ist eine Gewichtung der Einflüsse der einzelnen Beiträge in den Formeln unbedingt notwendig. Die Gewichtung muß genauso gewählt werden, wie sie sich in den diskreten Differentialgleichungen ergibt, also mit der gemeinsamen Boxgrenzfläche. Das ist notwendig, damit die resultierende Formel mit der Finite-Boxen-Diskretisierung der Differentialgleichungen in Kapitel 3 konsistent ist.
Die Gewichtung entspricht beim Rechtecksgitter einer Erweiterung des Zählers und des Nenners von (5.2) mit der Grenzfläche zwischen Box 0 und Box 1 (oder Box 0 und Box 2, die Fläche ist gleich), und ebenso wird der Bruch in (5.3) mit der Fläche zwischen Box 0 und Box 3 skaliert.
Die beiden Gleichungen lauten mit diesen Umformungen und mit einer
Summation über alle Nachbarpunkte 
, die durch
(5.4) ermöglicht worden ist, nach einer Multiplikation mit
dem Nenner des jeweiligen Bruches:
Die Betragszeichen im Zähler der Brüche entsprechen dabei den
negativen Vorzeichen bei 
und 
in den
Formeln (5.2) und (5.3).
ist die 
-Komponente des elektrischen
Felds im Boxkontrollpunkt 
(das ist in Bild 5.1 der
Punkt 0).
ist die -Komponente des elektrischen
Felds im Mittelpunkt zwischen den Punkten und 
.
Es fällt auf, daß diese zum Beispiel für den Nachbarpunkt gar
nicht definiert ist (dort kann man nur eine -Komponente
bestimmen).
Der Ausdruck auf der rechten Seite von (5.5) läßt sich
daher gar nicht ohne weiteres numerisch auswerten. Allerdings ist der
Multiplikator davor bei den entsprechenden Einträgen Null, und so
spielt das keine Rolle.
Die beiden letzteren Formulierungen sind für Rechtecksgitter noch immer äquivalent zu den Formeln (5.2) und (5.3), haben jedoch schon wesentlich allgemeinere Gestalt. Mit der Definition eines Vektors
der vom Punkt zum Punkt weist, lassen sich die
Komponenten des elektrischen Feldes in die beiden
Koordinatenrichtungen als Produkte des transponierten
Vektors 
mit dem elektrischen
Feldvektor darstellen, wobei man wieder ausnützt, daß man die
Ausdrücke, deren Vorfaktor Null ist, beliebig umformen darf:
Dabei sind die Betragsstriche bei den Koordinaten im Zähler
entfallen, weil das negative Vorzeichen bei den Beiträgen der Punkte
2 (in Gleichung 5.8) und 4 (in Gleichung 5.9) durch
ein entsprechendes Vorzeichen im Produkt der Vektoren
und 
ausgeglichen wird.
Nun kann man die beiden Einzelgleichungen, die sich nur mehr im Zähler des Vorfaktors unterscheiden, zu einer Vektorgleichung zusammenfassen:
Einsetzen von
und Ausnützen der Assoziativität des Matrixprodukts ergeben die endgültige Form der Diskretisierungsvorschrift,
die hier abschließend noch für allgemeine Vektoren 
notiert
sein soll:
mit
und
Die Vorschrift (5.13) ergibt bei Rechtecksboxen genau die
Formeln (5.2) und (5.3), ist aber völlig
unabhängig von der Lage eines Koordinatensystems, läßt sich für
beliebige Dimensionalität anwenden und benötigt nur die
unstrukturierte Nachbarschaftsinformation (als Summation über alle
Nachbarn ) wie sie auch in der Diskretisierung der
Differentialgleichungen enthalten ist.
An dieser Stelle soll betont werden, daß die Formel aus der Diskretisierungsformel bei Rechtecksgittern zwingend in dieser Verallgemeinerung hervorgeht. Der einzige Bereich, wo Einflußnahme möglich ist, ist die Gewichtung der Beiträge mit den Boxgrenzflächen. Diese Gewichtung ist allerdings notwendig, damit die Diskretisierung konsistent in das Finite-Boxen-Schema paßt.
Von den Vektoren werden nur die Komponenten
in Richtung der Verbindungslinie an den Mittelpunkten der Verbindungslinien benötigt; die Formel ist also mit allen Diskretisierungsvorschriften in Kapitel 3 verträglich.
Die Formel ist außerdem numerisch sehr robust; die Matrix ist fast
immer regulär, wie im nächsten Abschnitt gezeigt wird. Dort wird
auch angegeben, wie man 
im singulären Fall ,,invertieren``
soll, und was für Auswirkungen das Weglassen einzelner Beiträge hat.
