5.3 Selbstinduktivitäten

Zur Berechnung der Selbstinduktivitäten sind fortgeschrittenere Strategien anzuwenden, da der Term $\vert\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath $\textst... ...ox{\boldmath $\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}'\vert$ nun stärker variiert. Die Elementgröße ist nicht mehr klein gegenüber dem Abstand von $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}$ zu $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}'$, und kann nicht mehr in der oben erläuterten Form behandelt werden. Die Berechnung der Selbstinduktivität erfordert spezielle Formeln mit bestimmten Integrationspunkten, veröffentlicht von Stroud [137]. Er hat eine Vielzahl von Integrationsformeln präsentiert, welche für verschiedene n-dimensionale Simplexe (z.B. das Einheitsdreieck, der Einheitstetraeder) als Integrationsbereich anwendbar sind. Um die Selbstinduktivität zu erhalten muss nun (5.2) auf den Einheitstetraeder transformiert werden:

$$\begin{multline} L_{p_{ii}}=\frac{\mu}{4\pi I_i I_i}\int\limits_{{\cal V}_i} \in... ...athrm{d}\upsilon'\mathrm{d}\upsilon\,. \mathrm{d}V'\mathrm{d}V\,. \end{multline}$$

${\cal V}_i$ bzw. ${\cal V}_i'$ bezeichnen das Leitervolumen vom i $^{\mathrm{ten}}$ elektrischen Subsystem, $\xi,\eta,\zeta$ sind die lokalen Koordinaten und $\mathrm{det\,J}$, $\mathrm{det\,J'}$ sind die Transformationsdeterminanten, wobei diese konstant und keine Funktionen der lokalen Koordinaten sind. Zur Interpolation der Stromdichte innerhalb des Elements werden die quadratischen Formfunktionen herangezogen. Der Nenner in (5.7) ist signifikant für das Verhalten des Mehrfachintegrals, besonders wenn die beiden Vektoren $\mathchoice{\mbox{\boldmath $\displaystyle r$}} {\mbox{\boldmath $\textstyle r... ... {\mbox{\boldmath $\scriptstyle r$}} {\mbox{\boldmath $\scriptscriptstyle r$}}'$ im gleichen Tetraeder liegen. Deshalb werden zwei Strategien verfolgt: Zur Summation über alle verschiedene Elemente werden zwei Formeln mit bestimmten Integrationspunkten angewendet. Gemäß [138] werden Integrationsformeln der Form

$$\idotsint\limits_{S_n}{f(x_1, \cdots ,x_n) dx_1 \cdots dx_n} \tilde = \sum_{i=1}^{N} A_i f(p_i)$$ (5.7)

genutzt, wobei $S_n$ ein n-dimensionaler Simplex ist. $A_i$ sind Konstanten und die Punkte im n-dimensionalen Raum sind $p_i=(p_{i1}, p_{i2}, \cdots, p_{in})$. Diese Punkte sind in der Tabelle I [138] aufgelistet und durch Permutation von den vier Koordinaten

$\begin{array}{ll} \nu_1&=0.0948\\ \nu_2&=\nu_1\\ \nu_3&=0.2412\\ \nu_4&=0.5690, \end{array}$

z.B. $p_{1}=(\nu_1,\nu_2,\nu_3)$ erhält man die Integrationspunkte. Die Auswertung des Integranden an diesen Punkten wird mit der Konstanten $A$=0.006944 gewichtet.

Die zweite Formel für diesen Fall ist veröffentlicht in [139], Formel IV, mit dem Satz von Punkten (0,0,0; 1), bzw. (1/3,1/3,1/3; 0). Diese Notation bezeichnet einen Satz von Punkten bestehend aus (0,0,0) und allen Permutationen mit 1. Diese beiden Sätze von Punkten werden mit zwei unterschiedlichen, positiven Konstanten gewichtet: Der erste Satz von Punkten mit der Konstanten $A_I$=0.004166, der zweite mit $A_{I\!I}$=0.03750.

Für die Summation über identische Tetraeder wird eine analytische Integration in der dritten Koordinate ( $\zeta,\zeta'$) durchgeführt, bevor zwei Formeln von Stroud [137] für das Einheitsdreieck angewendet werden, nämlich Formel $T_n$2-1, mit den Satz von Punkten (0.16,0.16; 0.66) und Formel $T_n$3-6 mit dem Satz (0.109,0.232; 0.659), beide werden mit positiven Konstanten gewichtet (Formel $T_n$2-1 mit $A$=$0.166666$ und $T_n$3-6 mit $A$=$0.083333$). Wiederum wird die Stromdichte über quadratische Formfunktionen innerhalb des Tetraeders interpoliert. Diese analytische Integration gefolgt von einer numerischen Auswertung im Einheitsdreieck wird benutzt um die Genauigkeit der Integration zu verbessern, da Versuche die Integration über die Tetraeder mit Integrationformel höherer Ordnung (5. und 7.) sich als instabil erwiesen^5.3, und obige Formeln (2. bzw. 3. Ordnung), die zur Berechnung der Beiträge von verschiedenen Tetraedern eingesetzt werden, aber unzureichend sind. Im Anhang A ist dazu die detailreiche Herleitung der analytischen Integration ausgeführt.

Abbildung 5.3 zeigt die Potenzialverteilung eines Spiralinduktors mit folgenden Abmessungen: Fläche 226 x 226 $\protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$m$^2$, Metallbreite 18 $\protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$m, Abstand der Leiterbahnen 10 $\protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$m und der Höhe von 2.7 $\protect{\mbox{{\usefont{U}{eur}{m}{n}\char22}}}$m. Die Simulationszeit betrug 27 Minuten auf einem Digital Alpha Computer (DEC 600/333 MHz), und die Berechnung der Selbstinduktivität ergab 2.05 nH. Der Spiralinduktor besteht aus 855 Elementen. Das Gitter wurde mit der Präprozessor LAYGRID erzeugt.

Abbildung 5.3: Potenzialverteilung eines Spiralinduktors

Als Vergleich dazu wird ein von deLink erzeugtes Gitter gegenübergestellt, um die Empfindlichkeit des Verfahrens auf das Gitter zu zeigen. Die Stromdichteverteilung ist in Abb. 5.4 dargestellt. Der Leiter besteht aus 3423 Elementen, wodurch besonders auf der Innenseite der Knickstellen die Stromdichte besser aufgelöst wird. Außerdem zeichnet sich dieses Gitter durch regelmäßigere Tetreder aus. Die Berechnung benötigte auf einem LINUX-Rechner mit 1800 MHz 72 Minuten. Das Resultat der Simulation auf diesem Gitter beträgt 2.10 nH.

Abbildung 5.4: Stromdichteverteilung in einem Spiralinduktor

Fußnoten

... erwiesen^5.3

Was sicherlich auf die Singularitäten zurückzuführen ist, da durch zunehmende Anzahl der Stützstellen die Neigung zur Instabilität von numerischen Verfahren aufgrund des Integranden steigt.