4.1.2 Quaternäre Legierungen  

Für quaternäre HL wird üblicherweise ein Produktpolynom angesetzt

$${\cal Q}_{\mathrm{}}(x,y) = \sum\limits_{ij} k_{ij}\,x^i\,y^j\,,$$ (4.2)

das für beliebige (lineare) Schnitte einfaches (parabolisches) Verhalten hat und im Grenzfall in die ternären HL übergeht. Beim Typ I (Abschnitt 3.4.2) entspricht das einer 6-Punkt Formel, $0\leq i+j \leq 2$.Für den Typ II bedeutet das einen 9-Punkt Ansatz mit einem freien Parameter, $0\leq i \leq 2$, $0\leq j \leq 2$.Aber es ist auch eine Interpolation für ${\cal Q}_{\mathrm{}}$ denkbar, die stetig in beliebige Randverläufe ${\cal T}_{\mathrm{}}$ übergeht,

$${\cal Q}_{\mathrm{}}(x,y) = \frac{\sum\limits_{i}k_i(x,y)\,{\cal T}_{\mathrm{i}}(x,y)}{n(x,y)}\,.$$ (4.3)

k_i(x,y) und n(x,y) sind Gewichtungs- beziehungsweise Normierungsfunktionen. Nach Adachi [2] gilt für Typ II Verbindungen A_xB_1-xC_yD_1-y bestehend aus AC, BC, AD und BD:

$$\begin{eqnarray} {\cal Q}_{\mathrm{ABCD}}(x,y) & = & \frac{x\,(1-x) \left(y\,{\... ...(y) + (1-x)\,{\cal T}_{\mathrm{BCD}}(y)\right)}{+ y\,(1-y)}\,. \end{eqnarray}$$ (4.4)

Dabei ist der Durchschnittswert der ternären Mittenwerte für den Mittelpunkt angenommen,

$${\cal Q}_{\mathrm{ABCD}}({\textstyle {1\over 2}},{\textstyle ... ... 2}})+{\cal T}_{\mathrm{BCD}}({\textstyle {1\over 2}})\right).$$ (4.5)

Für Typ I Verbindungen (A_xB_yC_1-x-yD) aus den binären HL AD, BD und CD kann man in ähnlicher Weise

$$\begin{eqnarray} {\cal Q}_{\mathrm{ABCD}}(x,y) & = & \frac{x\,(1-y)\,(1-x-y)\,{... ..._{\mathrm{ABD}}(x)} {+ y\,(1-y) - x\,y\left(1+k\,(1-x-y)\right)} \end{eqnarray}$$ (4.6)

herleiten, wobei der freie Parameter k analog zu Typ II aus

$${\cal Q}_{\mathrm{ABCD}}({\textstyle {1\over 3}},{\textstyle ... ...r 2}})+{\cal T}_{\mathrm{ABD}}({\textstyle {1\over 2}})\right)$$ (4.7)

bestimmt werden kann zu

$$k = 9 - 6\;\frac{{\cal T}_{\mathrm{ACD}}({\textstyle {1\over ... ...over 2}})+{\cal T}_{\mathrm{ABD}}({\textstyle {1\over 2}})}\,.$$ (4.8)

In der Praxis wird meist die einfachere Form aus (4.2) bevorzugt.