Verbesserungen am Modell der Störstellenstreuung

 Einige Verbesserungen der in Abschnitt 6.1.2 angeführten Schwächen des Störstellenstreumodells sind in [104] angegeben. Da sie bei der Berechnung verwendet wurden, seien die wichtigsten Punkte kurz skizziert. Das klassische BH Modell beruht auf der Coulomb-Wechselwirkung zweier Punktladungen. Die Berücksichtigung des räumlichen Verlaufes der Ladungsverteilung eines isolierten ionisierten Dopanden erlaubt die Untersuchung der Abhängigkeit von $\mu_{\mathrm{}}^{}$ von der Dopandenspezies. Basierend auf dem Modell der wasserstoffähnlichen flachen Störstelle (``hydrogenic impurity'') [181], die Abschirmverhalten und Ionisierungenergien gut wiedergibt, setzt man für die kugelsymmetrische Ladungsverteilung der Elektronenhülle bestehend aus insgesamt N Elektronen

$$\begin{eqnarray} \rho_{\mathrm{e}}(r) & = & \frac{N\,\alpha^3}{8\,\pi}\,\mathrm... ...}\\ N & = &\int\!\rho_{\mathrm{e}}(r)\;\mathrm{d}V\,. \nonumber \end{eqnarray}$$ (6.42)

Mit Annahme einer Punktladung für den positiven Kern mit der Kernladungszahl Z ist die Gesamtladungsverteilung des Ions in Einheiten der Elementarladung e₀

$$\rho_{\mathrm{ion}}(r) = Z\,\delta(r) - \rho_{\mathrm{e}}(r)\,.$$ (6.43)

Die Berechnung des Parameters $\alpha$, der die Ausdehnung der Ladungsverteilung charakterisiert, beruht auf dem Thomas-Fermi Atommodell  [58,71,200]. Dabei wird ein Energiefunktional basierend auf der Annahme obiger Ladungsverteilung minimiert. In Tabelle 6.1 sind numerische Werte für die wichtigsten flachen Dopanden in GaAs angegeben.

 

 

Tabelle 6.1: Charakteristische Parameter flacher Dopanden in GaAs nach dem Thomas-Fermi Atommodell

Größe	Si	Se	Sn	Be	Zn	Cd
Z	14	34	50	4	30	48
N	13	33	49	5	31	49
$\alpha$ [1010 m-1]	1.108	1.433	1.616	0.436	1.255	1.504

Aus der Ladungsverteilung folgt mittels Fouriertransformation der sogenannte atomare Formfaktor  F(q) [153]

$$F(q) = \int\!\rho_{\mathrm{e}}(r)\,\mathrm{e}^{-i\,\vec{q}\... ...thrm{d}V = \frac{N\,\alpha^4}{\left(q^2+\alpha^2\right)^2}\,.$$ (6.44)

q ist der Betrag des Impulsübertrags bei der Streuung von Ladungsträgern vom Zustand $\vec{k}$ nach $\vec{k'}=\vec{k}+\vec{q}$. F(q) geht direkt in die erste Streuamplitude  der Bornschen Approximation ein

$$f(q) = \frac{2\,e_0^2\,{m_{}^{}}}{\hbar^2\,\varepsilon_{\mathrm{s}}}\;\frac{Z-F(q)}{q^2+\beta^2}\,.$$ (6.45)

Der Abschirmparameter  $\beta$ ist die inverse Abschirmlänge, welche für lineares Abschirmverhalten in allgemeiner Form durch den Thomas-Fermi Ausdruck 

$$\beta^2= \frac{1}{\lambda_{\mathrm{s}}^2} = \frac{e_0^2}{\v... ...hrm{F}}}} - \frac{\partial p}{\partial{E_{\mathrm{F}}}}\right)$$ (6.46)

gegeben ist. In (6.46) kann die nichtparabolische Mehrtalbandstruktur über die Zustandsdichte berücksichtigt werden (Abschnitt 3.2.1). Im Fall der Nichtentartung gilt

$$\frac{\partial n}{\partial{E_{\mathrm{F}}}} = \frac{n}{k_{\... ...al p}{\partial{E_{\mathrm{F}}}} =-\frac{p}{k_{\mathrm{B}}T}\,,$$ (6.47)

und es ergibt sich die Abschirmung nach Debye ((6.33)). Lineare Schirmung bedeutet, daß der Zusammenhang zwischen der Änderung des Potentials der Störstelle durch die schirmenden freien Ladungsträger und deren Ladungsverteilung linearisiert und so die Poissongleichung für das geschirmte Potential lösbar wird. Das Ortspotential der geschirmten Störstelle V(r), dessen Fouriertransformierte V(q) bis auf den Faktor $\frac{\hbar^2}{2\,{m_{}^{}}}$ gleich der Streuamplitude (6.45) ist, kann als

$$V(r)=\frac{e_0\,Z_{\mathrm{eff}}}{\varepsilon_{\mathrm{s}}}\;\frac{\mathrm{e}^{-\beta\,r}}{r}$$ (6.48)

geschrieben werden, wobei die effektive Ladung $Z_{\mathrm{eff}}$ unter Berücksichtigung des Formfaktors ortsabhängig wird und nur für den ungeschirmten Fall für große r in den konstanten Wert Z-N übergeht, der dem BH Ansatz entspricht.

Der differentielle Streuquerschnitt  ist das Betragsquadrat der Streuamplitude f(q),

$$\frac{d\sigma}{d\Omega}(q) = \vert f(q)\vert^2\left(1+\frac{\sin(q\,R)}{q\,R} \right).$$ (6.49)

Der Korrekturfaktor in Klammern berücksichtigt die Erhöhung der Wirksamkeit der Streuung am überlappenden Potential von zwei geladenen Zentren über die Wirkung zweier isolierter, ansonsten gleichartiger Ionen (kohärente Paarstreuung). R bezeichnet den mittleren Abstand der Störstellen [174],

$$R \approx \sqrt[3]{\frac{1}{2\,\pi\,N_{\mathrm{I}}}}.$$ (6.50)

Den totalen Streuquerschnitt für Ladungsträger im Zustand $\vec{k}$ ergibt das Integral von (6.49) über den Raumwinkel $\Omega$

$$\sigma(k) = \int \frac{d\sigma}{d\Omega}\,\sin\vartheta\;\m... ...2\,\pi}{k^2} \int_0^{2 k} \vert f(q)\vert^2\,q\;\mathrm{d}q\,,$$ (6.51)

da für elastische Streuung $q=2\,k\sin(\frac{\theta}{2})$.Die Streurate  folgt aus dem Streuquerschnitt mit der Konzentration der Störstellen und der Ladungsträgergeschwindigkeit

$$\tau_{\mathrm{I}}^{-1}(k) = N_{\mathrm{I}}\;v_{\mathrm{}}(k)\;\sigma(k)\,.$$ (6.52)

Der Übergang zum BH Modell geschieht durch Nichtberücksichtigung des Formfaktors ($\alpha\rightarrow\infty$, F(q)=N) und Vernachlässigung der Paarstreuung ($d\rightarrow\infty$).