5.2.1 Wahl der Selbststreurate

Den Ausgangspunkt für den in dieser Dissertation entwickelten Algorithmus bildet die Überlegung, daß die Selbststreurate nicht unbedingt dazu verwendet werden muß, die Integralgleichung 4.35 in die einfache Gleichung 5.2 überzuführen, die ja eine Gleichung 1.Grades in ist. Es kann auch eine etwas komplizierte Gleichung zugelassen werden. Sie sollte aber aus Effizienzgründen noch analytisch lösbar sein. Verglichen mit stückweise konstantem sollte die Zulassung einer einfachen -Abhängigkeit es ermöglichen, eine bessere einhüllende Funktion zu finden und auf diese Weise die Selbststreuprozesse zu reduzieren.

In Abschnitt 3.2.1 wurde gezeigt, daß für die verwendete Diskretisierung der Wellenvektor linear mit der Zeit variiert. Entlang einer Trajektorie unterliegt also der Skalar und die dazu proportionale Größe einer quadratischen Zeitentwicklung.

Um von einem konstantem abzugehen, liegt es nahe, als eine lineare Funktion in anzusetzen

Da ein quadratisches Polynom in der Zeit ist, ergibt die Zeitintegration von ein Polynom 3.Grades. Diese kubische Gleichung kann zur Bestimmung der Flugdauer direkt gelöst werden. Ein quadratisches Polynom in würde zwar die Erzeugung einer noch besseren Einhüllenden gestatten, jedoch würde die resultierende Integralgleichung 5.Ordnung in der Flugzeit sein. Der Rechenaufwand für die numerische Lösung dieser Gleichung würde die zusätzliche Einsparung von Selbststreuprozessen nicht rechtfertigen.

Setzt man in den Ansatz 5.3 die Zeitabhängigkeit von entsprechend Gleichung 3.32 ein, so wird

Für den Fall, daß das elektrische Feld verschwindet, bleibt der Wellenvektor konstant und die obige Gleichung reduziert sich zu

Für die Koeffizienten der kubischen Gleichung sollen folgende Bezeichnungen verwendet werden:

Durch die Substitution gelangt man zu der reduzierten Gleichung

mit den Koeffizienten

Das Lösungsverhalten der kubischen Gleichung hängt vom Vorzeichen der Diskriminante

ab. Falls positiv ist, existieren genau eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen.

Im folgenden wird eine hinreichende Bedingung für abgeleitet. Der zweite Summand in Gleichung 5.14 ist unabhängig vom Vorzeichen von immer positiv. Also genügt es zu zeigen, daß positiv ist,

Mit Hilfe der Ungleichung

ergibt sich nach kurzer Zwischenrechnung die Bedingung

Das bedeutet, daß die lineare Funktion in der Gleichung 5.3 einen positiven Ordinatenabschnitt und eine positive Steigung besitzt.

Die in dieser Arbeit verwendete totale Streurate ist monoton steigend in . Es hat sich herausgestellt, daß vorteilhafte obere Begrenzungsfunktionen der Bedingung für positive Diskriminante genügen (vergleiche Abbildung 5.2). Es kann daher im Programm a priori davon ausgegangen werden, daß die Gleichung genau eine reelle Lösung besitzt. Aus der Aufgabenstellung, ein Integral über einen positiven Integrand zu berechnen, bis der positive Wert erreicht wird, folgt, daß die einzige reelle Lösung auch positiv sein muß. Ohne vorherige Fallunterscheidung kann daher die freie Flugdauer direkt durch die Formel von Cardano [8]

erhalten werden. Im Programm wird nur die Vorbedingung entsprechend Gleichung 5.17 überprüft, eine Abfrage auf und während der Simulation kann unterbleiben.

Liegt hingegen eine physikalische Streurate vor, für deren Einhüllende auch abfallende Geraden verwendet werden, ist eine genaue Fallunterscheidung unbedingt erforderlich. Es können dann auch drei reelle Lösungen auftreten, wovon auf Grund der Problemstellung aber mindestens eine positiv ist.