Den Ausgangspunkt für den in dieser Dissertation entwickelten Algorithmus
bildet die Überlegung, daß die Selbststreurate nicht unbedingt dazu
verwendet werden muß, die Integralgleichung 4.35 in die
einfache Gleichung 5.2 überzuführen, die ja eine
Gleichung 1.Grades in ist.
Es kann auch eine etwas komplizierte Gleichung zugelassen werden.
Sie sollte aber aus Effizienzgründen noch analytisch lösbar sein.
Verglichen mit stückweise konstantem
sollte die Zulassung einer
einfachen
-Abhängigkeit es ermöglichen,
eine bessere einhüllende Funktion zu finden und auf diese Weise die
Selbststreuprozesse zu reduzieren.
In Abschnitt 3.2.1 wurde gezeigt, daß für die
verwendete Diskretisierung der Wellenvektor linear mit der Zeit variiert.
Entlang einer Trajektorie unterliegt also der Skalar
und die dazu proportionale
Größe
einer quadratischen Zeitentwicklung.
Um von einem konstantem abzugehen, liegt es nahe,
als eine lineare Funktion in
anzusetzen
Da ein quadratisches Polynom in der Zeit ist, ergibt die
Zeitintegration von
ein Polynom 3.Grades. Diese kubische Gleichung
kann zur Bestimmung der Flugdauer direkt gelöst werden.
Ein quadratisches Polynom in
würde zwar die Erzeugung einer
noch besseren Einhüllenden gestatten, jedoch würde die resultierende
Integralgleichung 5.Ordnung in der Flugzeit sein. Der Rechenaufwand
für die numerische Lösung
dieser Gleichung würde die zusätzliche Einsparung von
Selbststreuprozessen nicht rechtfertigen.
Setzt man in den Ansatz 5.3 die Zeitabhängigkeit von
entsprechend Gleichung 3.32 ein, so wird
Für den Fall, daß das elektrische Feld verschwindet, bleibt der Wellenvektor konstant und die obige Gleichung reduziert sich zu
Für die Koeffizienten der kubischen Gleichung sollen folgende Bezeichnungen verwendet werden:
Durch die Substitution gelangt man zu der reduzierten
Gleichung
mit den Koeffizienten
Das Lösungsverhalten der kubischen Gleichung hängt vom Vorzeichen der Diskriminante
ab. Falls positiv ist, existieren genau eine reelle und zwei konjugiert
komplexe Lösungen.
Im folgenden wird eine hinreichende Bedingung für abgeleitet.
Der zweite Summand in Gleichung 5.14 ist unabhängig vom Vorzeichen
von
immer positiv. Also genügt es zu zeigen, daß
positiv ist,
Mit Hilfe der Ungleichung
ergibt sich nach kurzer Zwischenrechnung die Bedingung
Das bedeutet, daß die lineare Funktion in der Gleichung 5.3 einen positiven Ordinatenabschnitt und eine positive Steigung besitzt.
Die in dieser Arbeit verwendete totale Streurate ist monoton
steigend in
. Es hat sich herausgestellt,
daß vorteilhafte obere Begrenzungsfunktionen der Bedingung für positive
Diskriminante genügen (vergleiche Abbildung 5.2).
Es kann daher im Programm a priori davon ausgegangen werden, daß die
Gleichung genau eine reelle Lösung besitzt. Aus der Aufgabenstellung, ein
Integral über einen positiven Integrand zu berechnen, bis der
positive Wert
erreicht wird, folgt, daß die einzige reelle
Lösung auch positiv sein muß. Ohne vorherige Fallunterscheidung kann daher
die freie Flugdauer direkt durch die Formel von Cardano
[8]
erhalten werden.
Im Programm wird nur die Vorbedingung
entsprechend Gleichung 5.17 überprüft,
eine Abfrage auf und
während der Simulation kann
unterbleiben.
Liegt hingegen eine physikalische Streurate vor, für deren Einhüllende auch abfallende Geraden verwendet werden, ist eine genaue Fallunterscheidung unbedingt erforderlich. Es können dann auch drei reelle Lösungen auftreten, wovon auf Grund der Problemstellung aber mindestens eine positiv ist.