3.3.2 Modellgleichungen

Für Interstitials, Vacancies und PI-Paare ist jeweils eine Diffusionsgleichung zu lösen, wogegen die Gleichungen für die substitutionellen Phosphoratome und die Präzipitate nur Generationsterme enthalten. Zur Beschreibung des Verhaltens von Phosphor wird also folgender Gleichungssatz verwendet:

$$\begin{align} {\frac{\partial{C_{P}}}{\partial{t}}} &= +R_{PI... ...D_IC_I^2+\kappa_nN_P \left(C_I-C_n^*\right)\right]. \end{align}$$ (3.16)

Die Reaktionsraten entsprechen dabei

$$\begin{align} R_{PI+V}&= k_{PI+V}\left(C_{PI}C_{V} -C_{P}\fra... ... - C_{I}^{\mathrm {eq}}C_{V}^{\mathrm {eq}}\right). \end{align}$$ (3.17)

Die Parameter dieser Gleichungen bestehen aus den Diffusionskoeffizienten D_x, den Reaktionskoeffizienten k_x+y und den Gleichgewichtskonzentrationen $C_x^{\mathrm {eq}}$.Die Gleichgewichtskonzentrationen stehen aufgrund des Onsager'schen Prinzips der detaillierten Reaktionsgleichgewichte [Ons31] in Relation zueinander. Durch diese Relationen wird sichergestellt, daß jede Reaktion für sich im Gleichgewicht ist, sofern alle Reaktionen im Gleichgewicht sind. Dadurch ergibt sich die Gleichgewichtskonzentration für die PI+V-Rekombination in Abhängigkeit von den Gleichgewichtskonzentrationen der I+V-Rekombination und der PI-Paarbildung (Gl. 3.23). Für die Präzipitate ergibt sich jedoch daraus keine Relation, da die Gleichgewichtskonzentration der Interstitials $I_{\mathrm {eq}}$ so weit unter der Gleichgewichtskonzentration der Interstitial-Präzipitat-Reaktion C_n^* liegt, daß praktisch keine Präzipitate mehr existieren können.

Die Reaktionskoeffizienten lassen sich auf die Diffusionskoeffizienten der beteiligten Partikeltypen und die Wirkungsradien der Reaktionen zurückführen, wie dies in Kap. 2.3.2 dargestellt ist. Die Wirkungsradien lassen sich auf atomarer Ebene durch die Art der Reaktionsmechanismen zumindest größenordnungsmäßig relativ gut abschätzen, sodaß im wesentlichen die Diffusionskoeffizienten zu bestimmen sind.

Aber auch zwischen den Diffusionskoeffizienten und den Gleichgewichtskonzentrationen bestehen Abhängigkeiten. Ausgehend von der Annahme, daß unter intrinsischen Verhältnissen alle Reaktionen praktisch im Gleichgewicht sind, muß der phänomenologisch feststellbare Diffusionkoeffizient wiedergegeben werden. Somit ergibt sich

$$D_{P}=D_{PI}\frac{C_I^{\mathrm {eq}}}{C_{PI}^{\mathrm {eq}}},$$ (3.18)

wobei D_P für den phänomenologischen Diffusionskoeffizienten unter intrinsischen Bedingungen steht. Als einziger Parameter frei einstellbar verbleibt die Gleichgewichtskonzentration für die PI-Paare $C_{PI}^{\mathrm {eq}}$, deren Zahlenwert durch Anpassung zu $3.0\cdot 10^{18}$cm^-3 bei einer Temperatur von $875^\circ$C ermittelt wurde. Die Koeffizienten des Punktdefektverhaltens wurden entsprechend Tab. 3.1 verwendet.