Die gängigen Modelle für die analytische Beschreibung von
Implantationsprofilen basieren
auf Überlagerungen von Punktantworten 
. Als Punktantwort
wird jenes Dotierungsprofil bezeichnet, das man erhält, wenn in einen
mit homogenem Material ausgefüllten Halbraum implantiert wird.
Meistens wird davon ausgegangen (zum Beispiel: [Fur72],
[Rys83b], [Gil85b]), daß die Punktantwort als Produkt von
Verteilungsfunktionen wie in Gl. (3.1) geschrieben werden
kann:
Die Konzentration 
an der Stelle 
wird aus der
nach Gl. (3.2) mit 
als
der pro Einheitsfläche implantierten Dosis berechnet.
Für jede der Verteilungsfunktionen 
gilt die Normierungsbedingung, wie sie in
Gl. (3.3) für die vertikale Funktion angeschrieben ist.
Eine notwendige Vorbedingung für dieses Modell ist, daß die
Verteilungsfunktionen separierbar sind. Das heißt, daß bei der
Betrachtung von für eine konstante Tiefe 
und für
eine konstante laterale Koordinate etwa 
diese
Verteilungsfunktion bis auf zwei Konstaten - das sind
und 
- durch die Funktion
gegeben ist. Damit ist die laterale Verteilungsfunktion
von 
unabhängig von 
und 
, und kann in obiger
Weise nach Gl. (3.1) berechnet werden.
Erste Ansätze von Furukawa u.a. [Fur72] und später von Runge [Run77] für zweidimensionale Applikationen basierten auf Gaußfunktionen sowohl in lateraler als auch in vertikaler Richtung. Später wurde dann noch von Ryssel u.a. [Rys83b] eine Erweiterung derart vorgenommen, daß für die vertikale Richtung eine allgemeinere Verteilungsfunktion zugelassen wird.
Nach dem Modell laut Gl. (3.1) wird angenommen, daß es keine Korrelation zwischen den Momenten (hier nur für die vertikale Funktion angeschrieben)
beziehungsweise den zentralen Momenten 
der Verteilungsfunktionen für die einzelnen Richtungen gibt. Diese
Annahme ist eine grobe Vereinfachung und daher im allgemeinen falsch.
Eine natürliche Art, die real existierende Korrelation zwischen
verschiedenen Richtungen zu berücksichtigen, ist die Einführung von
gemischten Momenten 
nach Gl. (3.6).
Schon im zweidimensionalen Fall ist es nicht immer einfach, aus diesen
Momenten eine Punktantwort zu generieren. Versuche in
dieser Richtung, die allerdings nicht wirklich überzeugende
Ergebnisse lieferten, wurden von Winterbon [Win86] oder Lorenz
u.a. [Lor89] unternommen.
Abbildung: Die tiefenabhängigen
Momente ergeben sich aus lateralen Schnitten von .
Ein sehr anschauliches Modell, wie die Korrelation zwischen vertikaler
und lateraler Verteilungsfunktion berücksichtigt werden kann, ist die
Verwendung von tiefenabhängigen Momenten [Hob87a]. Diese sind
definiert als die Momente der Verteilungsfunktionen, die man erhält,
wenn man Schnitte durch die Punktantwort in lateraler
Richtung legt (siehe Abb. 3.1). Mit den dadurch
erhaltenen lateralen Verteilungsfunktion 
und
entlang der Schnittlinien und der vertikalen
Verteilungsfunktion 
ergibt sich dann die Punktantwort zu
Für jede beliebige Tiefe müssen dabei folgende
Normalisierungsbedingung gelten:
und in Gl. (3.8) sind
Funktionen in bzw. , deren Parameter aber durch die
tiefenabhängigen Momente bestimmt sind.
Für dieses Modell müssen die lateralen Momente als Funktion der
Tiefe bekannt sein. Diese können etwa mit Hilfe von
Monte-Carlo Simulationen ermittelt werden [Hob87a].
