1.1 Quantentheorie

Die meisten der entweder kommerziellen oder an Universitäten entwickelten, für die Bauteilsimulation verwendeten Programme, wie etwa [4], [17] und [44] bauen prinzipiell auf der klassischen Mechanik und Elektrodynamik auf. Dies ist hauptsächlich darauf zurückzuführen, dass die dadurch zum Einsatz kommenden Modelle mittlerweile weitverbreitet und gut verstanden sind und sich der daraus ergebende Bedarf an Rechenaufwand noch in Grenzen hält. Doch bereits Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts haben Experimente wie die Streuung von Röntgenstrahlen (Compton, 1923) oder der Photoeffekt deutlich gemacht, dass die klassische Physik manche Effekte nur unzureichend beschreibt oder die daraus entwickelten Modelle an die Grenzen Ihrer Gültigkeit stoßen. Bei der Herstellung von immer leistungsfähigeren und höher integrierten Schaltungen dringt die Halbleiterindustrie nun, wegen der voranschreitenden Miniaturisierung ([41]), immer tiefer in ebensolche Grenzbereiche vor. Bei den besonders im Anwenderbereich wichtigen Grundbaustein MOS-Transistor ist die Oxiddicke von der Größenordnung 100  $\textrm{nm}$ in den siebziger Jahren mittlerweile unter 2 $nm$ verringert worden. Für die kommenden Generationen, deren Prototypen bereits gefertigt werden, wird eine effektive Oxiddicke von wenigen Nanometern verwendet. Dieser Entwicklung muss also auch in den Simulatoren durch verbesserte und erweiterte Modelle, oder gar durch neue Ansätze, Rechnung getragen werden. Wie die Physik in den vergangenen Jahrzehnten eindrucksvoll bewiesen hat, lassen sich die erwähnten Phänomene sehr gut mit quantentheoretischen Methoden behandeln. Dazu geht man von folgenden Postulaten aus ([27]):

• Abweichend vom Teilchenbild, wo jeder Ladungsträger durch Ort und Impuls genau bestimmt ist, wird nun der Zustand eines Ladungsträgers durch eine Wellenfunktion ${\ensuremath{\Psi}}$ beschrieben. Diese gibt die Verteilung der Wahrscheinlichkeit für diesen Zustand an.

• Um die physikalischen Größen wie zum Beispiel die Energie eines Systems zu ermitteln, muss man Eigenwerte von Hermite-schen Operatoren berechnen.

• Die Zeitentwicklung der für einen Zustand charakteristischen Wellenfunktion wird durch die Schrödinger-Gleichung bestimmt.

  $${} {\imath} \hbar \frac{\partial}{\partial t} {\ensuremat... ...suremath{\Psi}}\left( {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}, t \right)$$ (1.1)

  
  
  Der in Gleichung (1.1) vorkommende Hamilton-Operator ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{H}}}}}$ beschreibt die Energie des Systems.

Im Folgenden sind wir an stationären oder zumindest quasi-stationären Problemen interessiert. Wir können daher mit dem Separationsansatz

$${\ensuremath{\Psi}}({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}... ...}}}) \exp \left( - \frac{{\imath}}{\hbar} {\ensuremath{{\cal E}}} t\right)$$ (1.2)

die Zeitabhängigkeit von der ortsabhängigen Wellenfunktion abspalten, wodurch sich die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ergibt.

$${} {\ensuremath{\mathsf{H}}} {\ensuremath{\Psi}}\left( {\ensur... ...{\ensuremath{\Psi}}\left( {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}\right)$$ (1.3)

Durch den Separationsansatz kommt nun die Energie ${\ensuremath{{\cal E}}}$ des Zustands explizit in der Gleichung vor. Abhängig von den Randbedingungen ergeben sich aus der Lösung des Eigenwertproblems (1.3) diskrete oder kontinuierliche Eigenwerte.