1.2 Gitterperiodische Strukturen

Für die theoretische Behandlung der physikalischen Eigenschaften von Halbleitern ist deren Kristallstruktur von entscheidender Bedeutung. Im Halbleiter haben wir es mit einem Vielteilchenproblem zu tun, da durch den Kristallverbund prinzipiell alle Teilchen miteinander in Wechselwirkung stehen. Bereits bei der weitaus weniger dichten Anordnung im idealen Gas hat man es pro Einheitsvolumen mit einer Teilchenanzahl in der Größenordnung der Loschmid-Zahl zu tun. Diese Datenmengen sind natürlich aus der Sicht der Datenverarbeitung nicht unmittelbar beherrschbar. In der klassischen statistischen Mechanik wird daher an Stelle einer Beschreibung des System durch die einzelnen Mikrozustände nach Beziehungen zwischen makroskopischen Größen gesucht ([40]). In der hier verwendeten quantenmechanischen Methode wollen wir durch Ausnutzen von Symmetrieeigenschaften das System durch die Beschreibung eines einzelnen charakteristischen Elektrons vornehmen.

Abbildung 1.1: Kovalenter Bindungstyp mit vier Valenzelektronen in planarer Projektion

Silizium und andere Elementhalbleiter, wie Germanium, befinden sich in der vierten Spalte ($p^2$ Elemente, Kohlenstoffgruppe) des Periodensystems. Durch die Hybridisierung der vier Valenzelektronen des ungestörten Siliziums beim Zusammenfügen in einer kristallinen Struktur bilden sich vier kovalente Bindungen zu den nächsten Nachbarn. Jede solche Bindung besteht aus je zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin, entstanden aus einem $s$ und einem $p$ Zustand. Abbildung 1.1 soll diese Bindungen in Form einer planaren Projektion am Beispiel des hinsichtlich der Bindungen zu Silizium gleichwertigen Germanium skizzieren. Der dabei entstehende Kristall liegt dann in der so genannten Diamantstruktur beziehungsweise dem kubisch flächenzentrierten Gitter (siehe Abbildung 1.2) vor.

Abbildung 1.2: Kubisch flächenzentriertes Gitter und Basisvektoren.

Zur Beschreibung des idealen Kristallgitters wird grundsätzlich von den Basisvektoren ($\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$, $\vec{a}_3$), siehe Abbildung 1.2 für den Fall des kubisch flächenzentrierten Gitters) der sich periodisch im Raum wiederholenden Elementarzelle ausgegangen. Die Gesamtheit aller durch beliebige Verschiebung um eine Linearkombination dieser Basisvektoren erreichbaren Punkte bildet das Bravais-Gitter. Die Eigenschaften des Halbleiters werden somit durch die Eigenschaften einer einzelnen Elementarzelle bestimmt.

Wir betrachten Funktionen $f$, welche die Periodizität des Kristallgitters aufweisen.

$${} f({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}) = f({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}+ \vec{G})$$ (1.4)

Der Vektor $\vec{G}$ steht dabei für eine beliebige Linearkombination der Basisvektoren des Kristallgitters. Die Funktion $f$ lässt sich durch eine Fourier-Reihe darstellen.

$$f({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}) = \sum_{\vec{b}... ...2 \pi{\imath} \vec{b} {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}\right)$$ (1.5)

Abbildung 1.3: Brillouin-Zone des kubisch flächenzentrierten Gitters und wichtige Symmetrieachsen und Symmetriepunkte.

Die Vektoren $\vec{b}$ sollen dabei der Bedingung ${\ensuremath{\vec{\mathtt{b}}}} \cdot {\ensuremath{\vec{\mathtt{G}}}} = 0$ genügen. Dies wird durch die Vektoren des reziproken Gitters erfüllt.

$$\vec{b} = \sum_{i=1}^3 g_i \vec{b}_i \qquad \vec{b}_1 = \frac{\ve... ...c{a}_3\times \vec{a}_1}{V} ,\quad \vec{b}_3 \frac{\vec{a}_1\times \vec{a}_2}{V}$$ (1.6)

Darin steht $V$ für das Volumen der Elementarzelle. Auch im reziproken Gitter ist es sinnvoll eine Elementarzelle zu definieren. Eine mögliche Definition ist dabei die Wigner-Seitz-Zelle, die auch als Brillouin-Zone bekannt ist. Wie wir noch später erläutern werden, kann man sich bei der Beschreibung des Kristalls im Fourier-Raum auf diese Brillouin-Zone beschränken. Abbildung 1.3 zeigt die Brillouin-Zone des kubisch flächenzentrierten Gitters und einige wichtige Symmetrieachsen und Punkte.