1.3 Bloch-Funktionen

Der Hamilton-Operator für ein Elektron im Kristall setzt sich aus zwei Teilbeträgen zusammen. Der erste Term beschreibt die kinetische Energie des freien Elektrons, der zweite Term die Wechselwirkung des Elektrons mit dem Gitter.

$${} {\ensuremath{\mathsf{H}}} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + {\ensuremath{\Phi}}$$ (1.7)

Setzen wir in (1.7) ein gitterperiodisches Potenzial ${\ensuremath{\Phi}}$ voraus, so besagt das Theorem von Bloch, dass sich die Lösungen der Schrödinger-Gleichung in Form einer durch gitterperiodische Funktionen $u_{{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}}$ modulierte ebene Wellen darstellen lässt [50, Kap. 1.4].

$${} {\ensuremath{\Psi}}_{{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}... ...emath{\vec{\mathtt{k}}}}}}{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}\right)$$ (1.8)

Zwei wichtige Punkte sind hier zu bemerken. Der hier als Wellenvektor bezeichnete Parameter ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}$ ist ein reellwertiger Vektor und über die Schrödinger-Gleichung mit der zugehörigen Eigenenergie verbunden. Gemeinsam mit diesem Energieeigenwert charakterisiert er somit einen Zustand. Gleichzeitigt ist nun der Zusammenhang zwischen den Wellenvektoren und den Eigenenergiewerten typisch für den betrachteten Halbleiter und somit für dessen Modellierung von entscheidender Bedeutung. Stellt man diesen Zusammenhang grafisch dar, erhält man die Bandstruktur des Halbleiters.