1.5 Phononen

Das System der Gitterionen ist weitaus starrer und kann sich im Gegensatz zu den viel leichteren Elektronen nicht frei bewegen. Die Gitterionen führen lediglich rund um ihre jeweiligen Ruhelagen Schwingungen aus. Die Wechselwirkung mit dem Elektronensystem erfolgt in quantisierten Energiemengen dieser Schwingungen, den so genannten Phononen. Genau diese Beeinflussung der Bewegung der Elektronen, also die Streuung der Elektronen durch das Phononensystem, bestimmt maßgeblich den Ladungstransport. Man unterscheidet dabei zwischen akustischen und optischen Phononen. Bei ersteren handelt es sich um eine gleichphasige, bei zweiteren um eine gegenphasige Schwingung benachbarter Gitterionen. Weiters kann es sich um eine Schwingung quer zur Ausbreitungsrichtung (transversale Moden) oder längs zur Ausbreitungsrichtung (longitudinale Moden) handeln.

Bei den Phononen haben wir es wieder mit einem gitterperiodischen Problem zu tun. Eine Behandlung im Fourier-Raum und eine Beschränkung auf die Brillouin-Zone ist daher sinnvoll. Wiederum ist der Zusammenhang zwischen der Energie und der Wellenzahl entscheidend für die Charakterisierung der Phononen.

Abbildung 1.5: Dispersionsrelationen einer linearen Atomkette bestehend aus zwei unterschiedlichen Atomen.

Ein simples Modell für die Beschreibung der Phononen ergibt sich, wenn man den Kristall als eindimensionale lineare Kette von $n$ Atomen betrachtet. Durch Ansatz einer Fourier-Reihe für die Auslenkung der Atome erhält man aus der klassischen Physik, mit einer zur Auslenkung proportionalen Rückstellkraft, eine sinusförmige Dispersionsrelation, wie sie in Abbildung 1.5 gezeigt ist. Auch aus quantenmechanischen Berechnungen, die auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren von Phononen und der Einbeziehung der Symmetrieeigenschaften des Kristall basieren, ergeben sich mehrere charakteristische Zweige in der Dispersionsrelation, die durch einfache Näherungen ersetzt werden können.

Bei optischen Zweigen ergibt sich eine in etwa konstante Energie ( $\hbar {\ensuremath{{\ensuremath{\omega}}_{opt}}}$), während in einem akustischen Ast ein linearer Zusammenhang zwischen Wellenzahl und Energie angesetzt werden kann, in dem die Proportionalitätskonstante durch die Schallgeschwindigkeit gegeben ist. ( ${\ensuremath{{\ensuremath{\omega}}_{ak}}}\left( {\ensuremath{{\ensuremath{\vec... ...remath{v_s}}\left\vert{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{q}}}}}}\right\vert$)