1.6 Numerische Lösung der Schrödinger-Gleichung

Die Schrödinger-Gleichung spielt in der Quantenmechanik eine fundamentale Rolle. Da sich jedoch nur in Spezialfällen analytische Darstellungen für die Eigenfunktionen finden lassen, ist die numerische Suche nach Lösungen der Schrödinger-Gleichung ein wichtiger Ansatz [21], und wurde seit dem Beginn der elektronischen Datenverarbeitung zu einer effizienten und häufig verwendeten Methode [1]. Pionierarbeit bei der selbstkonsistenten Lösung von Schrödinger- und Poisson-Gleichung in Halbleiterstrukturen leistete F. Stern ([42],[43]). Angepasst an das jeweilige Problem kommen in der Simulation von Halbleiterbauelementen mehrere Methoden bei der numerischen Lösung der Schrödinger-Gleichung zum Einsatz. Bei den so genannten ,,shooting``-Verfahren wird die Energie vorgegeben, in die Schrödinger-Gleichung eingesetzt, und versucht zu diesem Energiewert eine Eigenfunktion auszurechnen. Falls dies nicht möglich ist, wird der Energiewert solange verändert bis man einen Eigenwert gefunden hat ([5],[28]). Wenn die Rechenzeit im Vordergrund steht, haben sich Variationsmethoden mit parametrisierten, analytischen Eigenfunktionen bewährt [16]. Bei diesem Ansatz wird von analytischen Lösungen zu einem möglichst einfachen Potenzial ausgegangen, die Lösung durch Hinzufügen eines freien Parameters verändert und durch Minimieren der Energie eine Lösung zu einem allgemeineren Potenzial gesucht. Ein weiterer Ansatz geht von der Diskretisierung des Differenzialoperators in der Schrödinger-Gleichung aus. Damit kann eine Martixeigenwertgleichung aufgestellt werden, um die Eigenwerte und Eigenfunktionen zu erhalten. Eine andere Variante der Diskretisierung ergibt sich bei Annahme eines stückweise konstanten Potenzials. Die in den einzelnen Intervallen bekannten analytischen Lösungen ergeben für die Anschlussbedingungen an den Intervallgrenzen wiederum ein Matrixeigenwertproblem [25]. In den meisten Fällen begnügen sich die Entwickler von Simulatoren bei der Lösung der eindimensionale Schrödinger-Gleichung aus der effektiven Masse Näherung mit einer parabolischen Dispersionsrelation. Bei genaueren Untersuchungen wird jedoch eine nichtparabolische Korrektur über eine Taylor-Reihenentwicklung des Operator der kinetischen Energie in Form einer Störungsrechnung berücksichtigt ([11],[19],[25]). In dieser Arbeit wird eine neue Variante für diese Vorgehensweise behandelt.