Unterabschnitte

• 3.2.1 Quantenmechanische Korrektur der klassischen Elektronendichte
• 3.2.2 Vergleich mit Messdaten

3.2 Kapazitätsberechnungen

Bei der Berechnung der Kapazität zu einer angelegten Spannung $U$ zwischen Gate und Substrat wird im Simulator folgendermaßen vorgegangen. Es werden jene beiden Ladungen im Kanal ermittelt, die sich bei Erhöhung und Verringerung der Spannung $U$ um einen kleinen Betrag $\delta U$ ergeben, und aus der Differenz dieser Ladungen wird die Kapazität berechnet.

$$C = \frac{Q(U+\delta U) - Q(U-\delta U)}{\delta U}$$ (3.2)

Dieser Wert kann nicht größer als die Kapazität des idealen Plattenkondensators werden.

$${} C = \frac{{\ensuremath{\epsilon}}_{ox}}{t_{ox}}$$ (3.3)

Der generelle Verlauf der Kapazität über der angelegten Spannung zeigt die verschiedenen Betriebsfälle. Bei starker Akkumulation oder Inversion steigt die Konzentration der Ladung im Kanal zum Oxid hin stark an und ist somit quasi als Flächenladung zu betrachten. Die resultierende Kapazität strebt gegen den Wert aus Gleichung (3.3). Bei schwächerer Akkumulation oder Inversion werden die Ladungsansammlungen immer geringer und deren Verlauf immer flacher. Der Schwerpunkt der Ladung verlagert sich somit von der Grenze zwischen Oxid und Kanal weg und der Abstand der Ladungen im Gate und im Kanal nimmt zu, die Kapazität sinkt. Im Verarmungsbereich wird dann die minimale Kapazität erreicht.

Ein weiterer Effekt der bei der Verwendung einer hochdotierten Schicht zwischen dem Gate-Anschluss und dem Oxid auftritt ist die Depletion im Polysilizium. Die bei starker Inversion im Kanal vorhandene Ladung wird durch eine gegengleiche Ladung in der Polysiliziumschicht kompensiert. Bei schwächerer Dotierung ergibt sich somit in der Nähe des Oxid-Polysiliziumüberganges eine Verarmung an freien Elektronen. Damit wird der Ladungsschwerpunkt im Gate vom Oxid weggeschoben und ergibt eine verringerte Kapazität.

3.2.1 Quantenmechanische Korrektur der klassischen
Elektronendichte

Abbildung 3.13: Vergleich der Kapazität aus klassischer, quantenmechanischer und quantenmechanisch korrigierter Simulation für eine Struktur mit Metall-Gate.

In diesem Abschnitt soll der Unterschied zwischen der klassischen, der quantenmechanischen und einer quantenmechanisch korrigierten klassischen Elektronendichte an der Auswirkung auf die Kapazität veranschaulicht werden. Abbildung 3.13 zeigt die entsprechenden Kapazitätskurven für eine Struktur mit einem Metallgate und einer Oxiddicke von 2.5 $nm$. Die hier angesprochene Korrektur wurde von Hänsch [15] vorgeschlagenen. Dabei wird die klassische Elektronendichte mit einer Gewichtungsfunktion $g$ multipliziert die vom Abstand zum Oxid ($z$) abhängt.

$${} g(z) = 1-\exp \left( -\frac{z^2}{g_z^2}\right) \quad g_z=\frac{\hbar}{\sqrt{2 {\ensuremath{m_{z}}}k_B T}}$$ (3.4)

Mit dieser Korrektur wird der Verlauf der Elektronenkonzentration zum Oxid hin auf den Wert Null reduziert. Die in Gleichung (3.4) verwendete de Broglie-Wellenlänge $g_z$ eines thermischen Elektrons ergibt für ${\ensuremath{m_{z}}}= {\ensuremath{m_{0}}}$ einen Wert von 1.2 $nm$. Durch die Korrektur wird der Schwerpunkt der Ladungsdichte wie im quantenmechanischen Fall vom Oxid weggeschoben. Das Resultat kann man auch in der Abbildung 3.13 deutlich erkennen. Es ergibt sich sowohl die horizontale Verschiebung der Kapazitätskurve zu einer höheren Schwellspannung, als auch eine Reduktion der Kapazität im Inversionsbereich. Auch für eine Struktur mit einem Polysilizium-Gate liegt die aus dieser Korrektur erhaltene Kurve deutlich näher an der quantenmechanischen Kurve als an der klassischen Kurve, wie in Abbildung 3.14 zu sehen ist.

Abbildung 3.14: Vergleich der Kapazität aus klassischer, quantenmechanischer und quantenmechanisch korrigierter Simulation für eine Struktur mit Polysilizium-Gate.

Im hier beschriebenen Simulator wurde die Korrektur nach (3.4) in die Berechnung der Startlösung einbezogen. Das so gewonnene Startpotenzial für den ersten Schritt der selbstkonsistenten Lösung von Schrödinger- und Poisson-Gleichung ist bereits näher an der Endlösung und erspart somit Iterationen. Die Genauigkeit der Endlösung wird durch diese Methode nicht beeinflusst.

3.2.2 Vergleich mit Messdaten

Die im folgenden verwendeten Messdaten wurden von Philips Research in Eindhoven zur Verfügung gestellt. Ziel der Untersuchung war die Ermittlung einer effektiven Oxiddicke, die aus den gemessenen Kapazitätskurven gewonnen wurden. Um die Messwerte durch die Simulation bestmöglich zu approximieren wurden in der Simulation zwei Parameter variiert, nämlich die Oxiddicke und die Dotierung des Polysilizium-Gates. Die Veränderung der Oxiddicke wirkt sich unmittelbar auf den Spannungsabfall im Oxid und damit die Feldstärke und Ladungsverteilung im Kanal aus. In Abbildung 3.15 sind

Abbildung 3.15: Auswirkung der Oxiddicke auf die Kapazität bei klassischer Simulation einer MOS-Struktur.

zu unterschiedlichen Oxiddicken von 2.4 $nm$ bis 2.6 $nm$ die aus der klassischen Simulation resultierenden Kapazitätskurven, die Messdaten und die aus der quantenmechanischen Simulation mit einer Oxiddicke von 2.6 $nm$ erhaltenen Kapazitäten aufgetragen. In der Simulation ist die Quantisierung der Löcher nicht berücksichtigt. Im Bereich der Akkumulation ist daher das klassische und das quantenmechanische Ergebnis gleich. Da die Kapazität des Plattenkondensators invers proportional zum Plattenabstand ist, ergibt sich der größte Kapazitätswert bei der kleinsten betrachteten Oxiddicke.

Abbildung 3.16: Auswirkung der Oxiddicke auf die Kapazität bei quantenmechanischer Simulation einer MOS-Struktur.

Im Inversionsbereich erkennt man die deutliche Abweichung zwischen dem klassischen und dem quantenmechanischen Modell. Die geringere Kapazität im quantenmechanischen Fall ist in erster Linie auf den Effekt der von der Grenzfläche weggedrängten Ladung zurückzuführen. Wie Abbildung 3.15 zeigt, lassen sich mit einem klassischen Modell die Messdaten offensichtlich nicht gut reproduzieren. Eine gleichzeitiges Anpassen der Schwellspannung und der Kapazität im Inversionsbereich ist nicht möglich.

Abbildung 3.17: Auswirkung der Dotierung des Polysilizium-Gates auf die Kapazität.