Unterabschnitte

• 3.1.1 Selbstkonsistente Lösung
• 3.1.2 Wellenfunktionen
• 3.1.3 Elektronenkonzentration
• 3.1.4 Subbandparameter

3.1 MOS-Struktur

Der verwendete Ansatz für die Lösung der Schrödinger-Gleichung ermöglicht im Fall einer MOS-Struktur eine konsistente Berücksichtigung der nichtparabolischen Dispersionsrelation (1.15) und die Berechnung einer selbstkonsistenten Lösung zu einer gegebenen Gate-Bulk-Spannung. Nach der selbstkonsistenten Lösung von Schrödinger- und Poisson-Gleichung stehen folgende Größen zur Verfügung: Der Verlauf der Bandkanten, das Potenzial, die einhüllenden Funktionen, die Eigenwerte, die Ladungsträgerkonzentrationen und die Subbandparameter.

3.1.1 Selbstkonsistente Lösung

Die simulierte Struktur besteht aus einem Polysilizium-Gate mit einer Dotierung von $5\cdot10^{19}$ $cm^{-3}$, einem Oxid mit einer Dicke von 2.5 $nm$ und einem Substrat in dem ein Dotierungsverlauf vorgegeben ist. Im Simulator wird für die Lösung der Poisson-Gleichung eine Ausdehnung von 100 $nm$ und 450 $nm$ für das Polysilizium-Gate und das Substrat verwendet. Die Schrödinger-Gleichung wird in einem nur 100 $nm$ großem Gebiet gelöst. Durch Anlegen einer Gate-Bulk-Spannung von 1.2 $V$ wird ein Betriebszustand simuliert, in dem starke Inversion vorliegt. In der Eingabedatei für den Simulator lautet die Beschreibung des Problems wie folgt:

setsegment -name poly -material Si \
           -length 100.0*nm -doping "-5.0E19*cm^-3"
setsegment -name oxid -material Oxid \
           -length  2.5*nm -doping 0.0*cm^-3
setsegment -name bulk -material Si \
           -length 450*nm -doping 1.0E17*cm^-3 \
           -dopingfile "doping.dat" -interpolation linear
boundaries -type 1
 
mosinit -mossim -base 8 -sbb 30 -lz 100*nm
 
meshinit -U_GB 1.2*V -stretch 1.1 -maxstretch 2.0 -T 300*K
startguess -damp 1.0 -accuracy 1.E-12
 
iterate -damp 1.0 -max 1.e-6 -maxiter 20 -itertype 1

Die Berechnung erfolgt in der Basis (2.12) unter Verwendung der ersten $30$ Subbänder, wobei die Anzahl der Basisfunktionen auf $2^8$ begrenzt wird. Der Verlauf der Leitungsbandkante in der Umgebung des Oxids und die Lage des Fermi-Niveaus im Substrat und im Polysilizium-Gate sind in der Abbildung 3.1 gezeigt.

Abbildung 3.1: Verlauf von Leitungsbandkante und Fermi-Energie in der Nähe vom Oxid.

Abbildung 3.2: Verlauf des Potenzials in der Nähe vom Oxid.

Wegen der starken Dotierung des Polysilizium-Gates ergibt sich im Gate ein flacher Verlauf der Leitungsbandkante. An den Grenzflächen zwischen Oxid und Halbleiter erkennt man den Sprung der Leitungsbandkante zwischen den beiden Materialien. Aus diesem Sprung resultiert die Ausbildung eines Potenzialtrichters, der für die Quantisierungseffekte verantwortlichen ist. In Abbildung 3.2 ist der Verlauf des Potenzials zu sehen. Die am Rand erkennbaren Werte beinhalten bereits die an den Metall-Halbleiterübergängen abfallenden Kontaktspannungen. Deshalb ist die angelegte Spannung nicht unmittelbar in der Abbildung zu erkennen.

Die Schrödinger-Gleichung wird mit den Basisfunktionen (2.12) in der Matrixdarstellung (2.53) im Fourier-Bereich gelöst und liefert die Wellenfunktionen in der Fourier-Reihenentwicklung (2.43). Die entsprechende Darstellung der Wellenfunktionen im Ortsraum ist in Abbildung 3.3 gegeben. In den Abbildungen 3.4, 3.5 und 3.6 sind die Koeffizienten des Spektrums der Wellenfunktionen im ersten, fünften und zwanzigsten Subband dargestellt.

Abbildung 3.3: Wellenfunktionen im ersten, fünften und zwanzigsten Subband.

Die Werte des Spektrums zeigen dabei einen ähnlichen Verlauf wie die Wellenfunktionen selbst. Die hier gezeigten Koeffizienten sind ein guter Anhaltspunkt für die sinnvolle Wahl der Ausdehnung des Simulationsgebietes. Wird das Gebiet, in dem die Schrödinger-Gleichung gelöst wird, sehr groß gewählt und die Anzahl der verwendeten Basisfunktionen jedoch auf eine kleine Anzahl begrenzt, werden die Lösungen durch diese Einschränkung verfälscht. Für die Darstellung der Wellenfunktionen in den höheren Subbändern werden dann Spektralkomponenten benötigt, die aufgrund der begrenzten Anzahl an Basisfunktionen nicht zur Verfügung stehen. Dies äußert sich im Spektrum durch ein fehlendes Abklingverhalten bei den höheren Indizes. Diese Information könnte beispielsweise genutzt werden, um im Simulator die vom Benutzer gewählte Ausdehnung des Simulationsgebietes zu korrigieren oder eine Warnung auszugeben.

Abbildung 3.4: Spektrum der Wellenfunktion im ersten Subband.

Abbildung 3.5: Spektrum der Wellenfunktion im fünften Subband.

Abbildung 3.6: Spektrum der Wellenfunktion im zwanzigsten Subband.

3.1.2 Wellenfunktionen

Abbildung 3.7 zeigt die quadrierten Wellenfunktionen des ersten, dritten und fünften Subbandes im Bandminimum, also für ${k}= 0 \ensuremath{ nm^{-1}}$ sowie bei einem Wert des Wellenvektors von 3 $nm^{-1}$.

Abbildung 3.7: Quadrierte Wellenfunktionen in internen Einheiten im ersten, dritten und fünften Subband für zwei verschiedene Werte des Wellenvektors.

Zu erkennen ist eine Stauchung der Wellenfunktionen außerhalb des Talminimums. Der Effekt resultiert aus der Berücksichtigung der Nichtparabolizität im Operator der kinetischen Energie (2.21). Bei einer Transportberechnung wäre dieser Effekt durch eine, von der Parallelkomponente des Wellenvektors abhängige effektive Weite

$$b_{nn}^{-1} = 2 \int \left\Vert {\ensuremath{\zeta}}_n\right\Vert^4 dz$$ (3.1)

in den Streuraten zu berücksichtigen. Die Stauchung der Wellenfunktion im fünften Subband liegt in der Größenordnung von zwei Nanometern.

3.1.3 Elektronenkonzentration

Abbildung 3.8: Klassische und quantenmechanische Elektronenkonzentration in einer MOS-Struktur.

Eine Gegenüberstellung der Elektronenkonzentration aus der klassischen Anfangslösung und jener, die sich aus der selbstkonsistenten Lösung von Schrödinger- und Poisson-Gleichung ergibt, ist in Abbildung 3.8 zu sehen. Der Verlauf der klassischen Elektronenkonzentration weist an der Grenzfläche zum Oxid ein Maximum auf. Die selbstkonsistente Lösung wird durch die gewählten Randbedingungen an der Grenze zum Oxid auf den Wert Null gezwungen. Aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung ergibt sich ein stetiger Verlauf der Elektronenkonzentration, der von der Grenzfläche zum Oxid beginnend steil ansteigt und bei einem Abstand von wenigen Nanometern vom Oxid ein Maximum hat. Mit steigendem Abstand vom Oxid ergibt sich wieder der Verlauf der klassischen Elektronenkonzentration. Deutlich zu erkennen ist die Verlagerung des Schwerpunktes der Ladung von der Grenzfläche weg.

Die hier mit $2^8$ Basisfunktionen durchgeführte Simulation ermöglicht es, die Elektronenkonzentration über einen Wertebereich von zehn Zehnerpotenzen zu erfassen. Bei kleineren Elektronenkonzentrationen werden die Werte durch den Diskretisierungsfehler, der durch den Abbruch der Fourier-Reihe entsteht, verfälscht. Der dabei resultierende Beitrag zur Elektronendichte ist jedoch vernachlässigbar. Im Regelfall kann bereits mit $2^6$ oder $2^7$ Basisfunktionen ein sinnvolles Ergebnis erwartet werden.

3.1.4 Subbandparameter

Zur Berücksichtigung der nichtparabolischen Dispersionsrelation (2.2) wurde für jedes Subband eine Subbandmasse und ein Subbandnichtparabolizitätskoeffizient nach (2.31) definiert. In Abbildung 3.9 und 3.10 sind diese

Abbildung 3.9: Nichtparabolizitätskoeffizient in verschiedenen Subbändern für den Fall eines Metall-Gates, eines Polysilizium-Gates und einer konstanten Kanaldotierung

Abbildung 3.10: Effektive Massen in verschiedenen Subbändern für verschiedene Gate-Materialien und Substratdotierungen.

Subbandparameter für unterschiedliche Simulationen in den ersten 25 Subbändern aufgetragen. In einer Simulation wurde ein Metall-Gate und ein spezielles Dotierungsprofil im Substrat verwendet. In einer zweiten Simulation wurde das Metall-Gate durch ein Gate aus Polysilizium ersetzt. In einer dritte Simulation wurde im Substrat eine konstante Dotierung verwendet. Für die Dispersionsrelation (2.2) wurde ein Nichtparabolizitätskoeffizient von 0.5 $eV^{-1}$ verwendet. Die Werte des Nichtparabolizitätskoeffizienten in den Subbändern liegen alle nahe bei 0.5 $eV^{-1}$ und unterscheiden sich nur um wenige Prozent. In Abbildung 3.11 und Abbildung 3.12 wurde der Wert des Nichtparabolizitätskoeffizienten der Dispersionsrelation (2.2) variiert und die relative Abweichung der Subbandparameter von Ihren nicht quantisierten Werten aufgetragen.

Abbildung 3.11: Relative Abweichung in Prozent des Nichtparabolizitätskoeffizienten in verschiedenen Subbändern bei unterschiedlichen Ausgangsparametern für den Nichtparabolizitätskoeffizienten.

Abbildung 3.12: Relative Abweichung der effektiven Massen in Prozent in verschiedenen Subbändern bei unterschiedlichen Ausgangsparametern für den Nichtparabolizitätskoeffizienten.

Bei der berechneten Subbandmasse ist die Abweichung in den einzelnen Subbändern ausgeprägter, wie in Abbildung 3.10 zu sehen ist. Die Abweichung der Subbandmasse ist bei größeren Werten des Nichtparabolizitätskoeffizienten stärker. Bei einem Nichtparabolizitätskoeffizienten von 0.5 $eV^{-1}$ ergibt sich eine relative Abweichung der Subbandmasse von mehr als 15 Prozent (Abbildung 3.12).