Unterabschnitte

• 2.1.1 Operator der kinetischen Energie
• 2.1.2 Separationsansatz für parabolische Bänder und konstante Masse
• 2.1.3 Basisfunktionen
• 2.1.4 Zusammenhang zwischen den Operatoren ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}$ und ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}$
• 2.1.5 Subbanddispersionsrelation

2.1 Schrödinger-Gleichung

Für die hier vorgesehene Untersuchung empfiehlt es sich von dem in Abschnitt 1.4.3 vorgestellten einfachen Modell einer Einteilchen-Schrödinger-Gleichung mit einer effektiven Masse und einer nichtparabolischen Dispersionsrelation (1.15) auszugehen. Ausgangspunkt ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (1.3) für ein einzelnes Teilchen in der eine gegeben Potenzialverteilung eingesetzt wird.

2.1.1 Operator der kinetischen Energie

Unter Verwendung einer skalaren effektiven Masse $m$ lässt sich der Operator des Bandformfaktors mit dem Tensor der inversen Masse ${\ensuremath{\mathsf{m}}}^{-1}$ wie folgt darstellen:

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}} = \frac{\hbar^2}{2} \... ...emath{\mathsf{m}}}^{-1}({\ensuremath{\mathsf{r}}}) {\ensuremath{\mathsf{k}}}$$ (2.1)

Der Operator ${\ensuremath{\mathsf{k}}}$ des Wellenvektors ${\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{k}}}}}}$ lautet dabei in der Ortsdarstellung ${\ensuremath{\mathsf{k}}} = - {\imath} \nabla$. Es ist zu beachten, dass die Operatoren ${\ensuremath{\mathsf{k}}}$ und ${\ensuremath{\mathsf{r}}}$ nicht vertauschbar sind. Durch die symmetrische Schreibweise in (2.1) ist der Operator ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}$ jedoch selbstadjungiert. Die Verwendung des Begriffs einer effektiven Masse war notwendig, um das Vielteilchenproblem auf ein äquivalentes Einteilchenproblem zu reduzieren. In der Praxis wird also durch Einführen einer parabolischen Dispersionsrelation zwischen Energie und Wellenvektor, in der die effektive Masse als Parameter eingeht, der Einfluss des Kristallgitters in einer einfachen Einteilchen-Gleichung zum Ausdruck gebracht. Diese Vereinfachung ist jedoch nicht ausreichend wenn Ladungsträger mit höheren Energien untersucht werden sollen. Die Dispersionsrelation kann wie in Abschnitt 1.4.3 beschrieben nach dem Ansatz von Kane um einen zusätzlichen Nichtparabolizitätskoeffizienten ${\ensuremath{\alpha}}$ ergänzt werden, und lautet für eine isotrope effektive Masse $m$ wie folgt.

$${} \left( {\ensuremath{{\cal E}}}+ {\ensuremath{\alpha}} {\ensuremath{{\cal E}}}^2 \right) = \frac{\hbar^2 {k}^2}{2 m}$$ (2.2)

Wir wollen diese Korrektur nun auch bei der Betrachtung eines quantisierten Systems einbeziehen und fordern daher, dass der Operator der kinetischen Energie folgende Relation erfüllen muss:

$${} \left( {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}+ {\ensuremath{... ...{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}\right) = {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}.$$ (2.3)

(2.3) entspricht (2.2) in Operatorschreibweise. Für Silizium liegt der Wert des Koeffizienten ${\ensuremath{\alpha}}$ bei 0.5 $eV^{-1}$.

Abbildung 2.1: Analytische Dispersionsrelationen zu verschiedenen Werten des Nichtparabolizitätskoeffizienten.

Abbildung 2.1 soll die resultierende Dispersionsrelation (2.2) für einige Werte von ${\ensuremath{\alpha}}$ veranschaulichen. Für den Wert Null erhält man wieder den parabolischen Fall aus Gleichung (2.1). Für Teilchen mit einer Energie über 300 $meV$ erkennt man bereits einen sichtbaren Unterschied in der parabolischen und der nichtparabolischen Dispersionsrelation.

2.1.2 Separationsansatz für parabolische Bänder und konstante Masse

Ausgehend vom Ansatz mit Bloch-Funktionen nach (1.8), wird ein Separationsansatz gewählt bei dem die Elektronen in der Ebene parallel zur Quantisierungsrichtung als freie Teilchen betrachtet werden. An Stelle einer dreidimensionalen ebenen Welle verwenden wir nun eine ebene Welle in der Normalebene zur Quantisierungsrichtung und eine einhüllende Funktion ${\ensuremath{\zeta}}$ in der Quantisierungsrichtung.

$${} {\ensuremath{\Psi}}({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}... ..., {\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{R}}}}}}\right) {\ensuremath{\zeta}}(z)$$ (2.4)

Diesen Separationsansatz setzen wir nun in die Schrödinger-Gleichung ein.

$${} \left[ {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}+ {\ensuremath{... ... {\ensuremath{\Psi}}\left({\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{r}}}}}}\right)$$ (2.5)

Für den Hamilton-Operator wurden hier nur jene Terme verwendet, die das Elektronensystem beschreiben. Der Operator $\mathsf{V}$ beschreibt die Wirkung des für die Quantisierung verantwortlichen Potenzials und soll nur von der Quantisierungsrichtung $z$ abhängen. Aus der gewählten Definition nach (2.3) ergibt sich der Operator der kinetischen Energie ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}$ als Operatorfunktion von ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}$. Bei (2.5) beschränken wir uns auf den parabolischen Fall ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}\left( {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}\right) = {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}$. Wir nehmen hier weiters an, dass der Tensor der inversen effektiven Masse diagonal ist.

$${} {\ensuremath{\mathsf{m}}}^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} \fr... ...math{m_{xy}}}} & 0 0 & 0 & \frac{1}{{\ensuremath{m_{z}}}} \end{array} \right)$$ (2.6)

Die in (2.6) vorkommenden Massen ${\ensuremath{m_{xy}}}$ und ${\ensuremath{m_{z}}}$ sind dabei skalare Konstanten. Den Operator des Wellenvektors spalten wir dementsprechend in zwei Komponenten für die Quantisierungsrichtung und die Parallelebene auf.

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}} = {\ensuremath{{\ensu... ...}}}}}_{0} = -\frac{\hbar^2}{2} \nabla_z \frac{1}{{\ensuremath{m_{z}}}} \nabla_z$$ (2.7)

Wir wenden nun den Operator ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}$ auf die im Separationsansatz (2.4) verwendete Wellenfunktion an. Der in (2.7) vorkommende Operator $\nabla_{\ensuremath{{\ensuremath{\vec{\mathtt{R}}}}}}$ wirkt nur auf die ebene Welle in Parallelrichtung. Der Operator ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}$ kann also für den verwendeten Separationsansatz als

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}} = {\ensuremath{{\ensu... ...th{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{1} = - \frac{\hbar^2}{2 {\ensuremath{m_{xy}}}}$$ (2.8)

angeschrieben werden. Die hier verwendete Nomenklatur mit ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{0}$ und ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{1}$ soll der später verwendeten Reihenentwicklung nach dem Parallel-Wellenvektor dienen.

Setzen wir nun die Wellenfunktion (2.4) in die Schrödinger-Gleichung (2.5) mit dem Operator ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}$ aus (2.8) ein und verwenden die Separationsvariable ${\ensuremath{{E}}}$. Der Separationsansatz liefert in der Parallelebene einen quadratischen Zusammenhang zwischen der Separationsvariable ${\ensuremath{{E}}}$ und der Energie ${\ensuremath{{\cal E}}}$.

$${} {\ensuremath{{\cal E}}} = {\ensuremath{{E}}}+ \frac{\hbar^2 {K}^2}{2 {\ensuremath{m_{xy}}}}$$ (2.9)

In der Quantisierungsrichtung ergeben sich aus der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung

$${} \left({\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{0}+ {\ensurema... ...right) {\ensuremath{\zeta}}(z) = {\ensuremath{{E}}} {\ensuremath{\zeta}}(z)$$ (2.10)

diskrete Eigenwerte ${\ensuremath{{E}}}_n$ für die Separationsvariable ${\ensuremath{{E}}}$.

Abbildung 2.2: Skizze zum Begriff der Subbänder.

Die Skizze 2.2 veranschaulicht den Zusammenhang (2.9). Ein Elektron mit dem diskreten Eigenwert ${\ensuremath{{E}}}_n$ und der entsprechenden Eigenfunktion ${\ensuremath{\zeta}}_n$ befindet sich dann im Subband $n$.

2.1.3 Basisfunktionen

Im parabolischen Fall ergab der Separationsansatz (2.4) für die einhüllende Funktion ${\ensuremath{\zeta}}(z)$ die eindimensionale Schrödinger-Gleichung (2.10). Für die Lösung dieses Eigenwertproblems im feldfreien Fall ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{V}}}}}={\ensuremath{\mathsf{0}}}$ mit geeigneten, einfachen Randbedingungen verwenden wir die Darstellung des Operators ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}_{0}$ im Ortsraum und bezeichnen die Lösungen mit $u_n$.

$${} \frac{-\hbar^2}{2 m_z} \nabla_z^2 u_n(z) = \Gamma_{n}^{(0)} u_n(z).$$ (2.11)

Der Einfachheit halber setzen wir den Koordinatenursprung an die Grenzfläche zwischen Oxid und Halbleiter. An dieser Stelle haben wir eine Diskontinuität in der Leitungsbandkante von etwa $3.1 \ensuremath{ eV}$ für den Fall eines MOS-Transistors mit Siliziumsubstrat. Dies nehmen wir zum Anlass die Randbedingungen wie folgt zu definieren. Die Wellenfunktionen sollen am Koordinatenursprung und im Unendlichen verschwinden. Wir beschränken unsere Untersuchung also auf den Fall einer vernachlässigbaren Penetration der Wellenfunktionen in das Oxid. Für die praktische Umsetzung wird natürlich auch die zweite Randbedingung nicht im Unendlichen sondern bei einer sinnvoll gewählten Entfernung ${\ensuremath{L_z}}$ vom Oxid angesetzt. Weiters sollen die Eigenfunktionen auf Eins normiert sein. Mit den genannten Bedingungen ergeben sich die Lösungen zu (2.11) als

$${} u_n(z) = \sqrt{\frac{2}{L_z}} \sin \left(n \frac{\pi}{{\ensuremath{L_z}}} z\right)$$ (2.12)

und die korrespondierenden Eigenwerte als

$${} \Gamma_{n}^{(0)} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 {\ensuremath{m_{z}}} {\ensuremath{L_z}}^2} n^2$$ (2.13)

Die Funktionen (2.12) werden als Basis für die Berechnungen im Simulator benutzt.

2.1.4 Zusammenhang zwischen den Operatoren ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}$ und ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}$

Um die Nichtparabolizität in der Dispersionsrelation der Energie nach (2.3) zu berücksichtigen, führen wir die Operatoren ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ und ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ ein.

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} = {\ensuremath{\mathsf{a}}}^{1/2} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}} {\ensuremath{\mathsf{a}}}^{1/2}$$

$${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} = {\ensuremath{\mathsf{a}}}^{1/2} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}} {\ensuremath{\mathsf{a}}}^{1/2}$$ (2.14)

Ziel ist es, eine Darstellung des Operators der kinetischen Energie zu finden, die in einem Simulator umsetzbar ist. Der Vorteil der neuen Operatoren liegt in der deutlich einfacheren Form der Gleichung (2.3), in der der Nichtparabolizitätskoeffizient nicht mehr explizit aufscheint.

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}... ...} \right) ^2 = {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$$ (2.15)

Mit dieser Darstellung ist das Problem, dass die Operatoren ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}$ und ${\ensuremath{\mathsf{a}}}$ in (2.3) nicht vertauschbar sind, gelöst. (2.15) definiert einen einfachen Zusammenhang zwischen den Eigenfunktionen und Eigenwerten der beiden Operatoren ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ und ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$. Es gilt folgender Zusammenhang ([10, 2.3]): Ein Operator sei aus der Anwendung einer Operatorfunktion ${\ensuremath{\mathsf{f}}}$ aus dem Operator ${\ensuremath{\mathsf{X}}}$ hervorgegangen, wobei sich die Operatorfunktion durch eine Potenzreihe in ${\ensuremath{\mathsf{X}}}$ darstellen lässt. Dieser neue Operator hat dann die gleichen Eigenfunktionen wie der Ausgangsoperator und seine Eigenwerte ergeben sich aus der Anwendung der skalarwertigen Funktion $f$ auf die Eigenwerte des Operators ${\ensuremath{\mathsf{X}}}$. Dies lässt sich auf den Operator ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ mit der Funktion $f_G(x) = x + x^2$ anwenden. Andererseits gilt dies auch für die Umkehrfunktion.

$${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} ... ...\left( {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} \right)$$ (2.16)

Die Eigenfunktionen beider Operatoren sind ident. Aus den Eigenwerten $\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ des Operators ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ lassen sich die Eigenwerte des Operators ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ als $f(\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}})$ angeben. Dazu benötigt man die Umkehrfunktion.

$$f^{-1}(x) = x + x^2$$

$${} f(x) = \frac{2x}{1+\sqrt{1+4x}}$$ (2.17)

Da es sich um Energieeigenwerte handelt, wird nur die positive Lösung der quadratischen Gleichung berücksichtigt.

Tabelle 2.1: Zusammenfassung der Eigenwerte und Eigenfunktionen der voneinander abhängigen Operatoren.

Operator	Eigenfunktion	Eigenwert
${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$	$\gamma _n$	$\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}}$
${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$	$\gamma _n$	$f\left(\Gamma_{n}^{{\ensuremath{\alpha}}}\right)$

Die Zusammenhänge zwischen den Eigenwerten und Eigenfunktionen der Operatoren ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ und ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ sind in der Tabelle 2.1 zusammengefasst. Durch die Umformung (2.14) ist es also gelungen, die Eigenwerte des Operators der kinetischen Energie als Funktion der Eigenwerte des Operators ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ anzuschreiben. Die Umformung muss dabei in der Basis bestehend aus den Eigenfunktionen des Operators ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ erfolgen. Dazu führen wir den Projektionsoperator auf die Eigenfunktionen des Operators  ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$

$${} {\ensuremath{\mathsf{P}}}_l = {\vert \gamma _l \rangle} {\langle \gamma _l \vert}$$ (2.18)

ein und erhalten aus der Vollständigkeitsrelation

$${} {\ensuremath{\mathsf{1}}} = \sum_l {\ensuremath{\mathsf{P}}}_l$$ (2.19)

folgende Entwicklung des Operators der kinetischen Energie.

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} = {\ensuremath{\mathsf{1}}} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}... ...}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} \vert \gamma _m \rangle} {\langle \gamma _m \vert}$$

$$= \sum_l {T}_{l}^{{\ensuremath{\alpha}}} {\ensuremath{\mathsf{P}}}_l$$

$${T}_{l}^{{\ensuremath{\alpha}}} = {\langle \gamma _l \vert {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} \vert \gamma _l \rangle}$$

$$= f(\Gamma_{l}^{{\ensuremath{\alpha}}} ) = \frac{2 \Gamma_{l}^{{\ensuremath{\alpha}}}}{1+ \sqrt{1+4 \Gamma_{l}^{{\ensuremath{\alpha}}}}}.$$ (2.20)

Die Summation über $m$ wurde in (2.20) weggelassen, da die gemischten Matrixelemente ${\langle \gamma _l \vert {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} \vert \gamma _m \rangle}$ für $l\ne m$ verschwinden. Mit (2.20) ergibt sich folgende formale Definition des Operators der kinetischen Energie.

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}} = \frac{2 {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\a... ...sf{1}}}+ 4 {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}}}$$

$${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}} = {\ensuremath{\mathsf{a}}}^{-1/2} {\ensuremath{\mathsf{f}}}\lef... ...athsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}\right) {\ensuremath{\mathsf{a}}}^{-1/2}$$ (2.21)

Der Zusammenhang (2.21) ergibt also eine Darstellung des Operators der kinetischen Energie mit den Eigenfunktionen und Eigenenergien des Operators ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$.

2.1.5 Subbanddispersionsrelation

Der Operator der kinetischen Energie ist nach (2.21) als Funktion des Operators ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}$ definiert. Mit dem Separationsansatz (2.4) und einer parabolischen Dispersionsrelation ergab sich nach (2.8) ein vom Parallel-Wellenvektor abhängiger Operator ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}$. Die Veränderung, die sich durch die nichtparabolische Dispersionsrelation (2.2) ergibt, soll nun mittels der Störungsrechnung behandelt werden. Wie wir im folgenden zeigen, lässt sich so in konsistenter Weise eine nichtparabolische Dispersionsrelation für die einzelnen Subbänder ableiten.

Als erster Schritt wird angenommen, dass sich der Operator der kinetischen Energie in eine Taylor-Reihe nach dem Parallel-Wellenvektor entwickeln lässt. Im Rahmen der nichtparabolischen Dispersionsrelation (2.2) kann diese Reihe beim Glied der Ordnung vier abgebrochen werden.

$${} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}\left( {\ensuremath{{\... ...emath{\mathsf{T}}}}}_1 {K}^2 + {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}_2 {K}^4$$ (2.22)

Die Eigenwerte ${\ensuremath{{E}}}_{n }^{(0)}$ und Eigenfunktionen ${\ensuremath{\zeta}}^0_n$ sind die Lösungen des ungestörten Problems.

$${} \left[ {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}_0 + {\ensurema... ...uremath{\zeta}}^0_n = {\ensuremath{{E}}}_{n }^{(0)} {\ensuremath{\zeta}}^0_n$$ (2.23)

Für die Störung

$${\delta {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}}= {\ensuremath{{... ...emath{\mathsf{T}}}}}_1 {K}^2 + {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}_2 {K}^4$$ (2.24)

ergibt sich dann aus der Störungsrechnung erster Ordnung (siehe Anhang A.1) folgende Korrektur für die Eigenwerte.

$${} {\ensuremath{{E}}}_n^{(1)} = {\langle {\ensuremath{\zeta}}^0_n \vert} {\delta {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}} {\vert {\ensuremath{\zeta}}^0_n \rangle}$$

$$= {T}_{1,n n} {K}^2 + {T}_{2,n n} {K}^4$$ (2.25)

Die Matrixelemente ${T}_{1,n n}$ und ${T}_{2,n n}$ des Operators ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}_1$ beziehungsweise ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}_2$ sind dabei wie folgt definiert.

$${} {T}_{1,n n} = {\langle {\ensuremath{\zeta}}^0_n \vert} {\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{T}}}}}_1 {\vert {\ensuremath{\zeta}}^0_n \rangle}$$ (2.26)

Um eine Entwicklung bis zu Termen vierter Ordnung zu erhalten, verwenden wir zusätzlich die Korrekturen aus der Störungsrechnung zweiter Ordnung. Diese führen auf Terme in denen die Parallelkomponente des Wellenvektors mit der Ordnung vier vorkommt.

$${} {\ensuremath{{E}}}_n^{(2)} = \sum_{m\neq n} \frac{ \left\vert {\langle {\ensuremath{\zeta}}^0_... ...right\vert^2 }{ {\ensuremath{{E}}}_{n }^{(0)} - {\ensuremath{{E}}}_{m }^{(0)} }$$

$$= \sum_{m\neq n} \frac{ {T}_{1,m n}^2}{{\ensuremath{{E}}}_{n }^{(0)} - {\ensuremath{{E}}}_{m }^{(0)}} {K}^4$$ (2.27)

Insgesamt folgt aus der Störungsrechnung folgende Abhängigkeit des Energieeigenwerts vom Wellenvektor.

$${} {\ensuremath{{\cal E}}} = {\ensuremath{{E}}}_{n }^{(0)} + {\ensuremath{{E}}}_n^{(1)} + {\ensuremath{{E}}}_n^{(2)}$$

$$= {\ensuremath{{E}}}_{n }^{(0)} + {T}_{1,n n} {K}^2 + \left( {T... ...2}{{\ensuremath{{E}}}_{n }^{(0)} - {\ensuremath{{E}}}_{m }^{(0)}} \right) {K}^4$$ (2.28)

Einen solchen Ansatz verfolgen auch zum Beispiel die Autoren in [11]. Zur Charakterisierung der einzelnen Subbänder ist die Einführung einer zum nicht quantisierten Fall analogen Dispersionsrelation für jedes Subband mit den Parametern effektive Masse $m_{n}^{sbb}$ und Nichtparabolizitätskoeffizient ${\ensuremath{\alpha}}_{n}^{sbb}$ zielführend.

$${} \left( {\ensuremath{{\cal E}}}- {\ensuremath{{E}}}_{n }^{(0)} ... ...uremath{{E}}}_{n }^{(0)} \right)\right) = \frac{\hbar^2}{2 m_{n}^{sbb}}{K}^2$$ (2.29)

Um die hier eingeführten Subbandparameter zu erhalten, lösen wir die quadratische Gleichung (2.29) nach den Eigenwerten ${\ensuremath{{E}}}_n({K})$, berücksichtigen dabei nur Terme bis vierter Ordnung in ${K}$, und führen einen Koeffizientenvergleich mit Gleichung (2.28) durch. Die dabei auftretende Wurzelfunktion kann, im Rahmen einer Beschränkung auf Terme bis vierter Ordnung, für den Betrag der Parallelkomponente des Wellenvektors, durch die Entwicklung $\sqrt{1+x} = 1 +x/2 -x^2/8$ ersetzt werden. Für den Koeffizientenvergleich verwenden wir somit statt (2.29) folgende Näherung.

$${} \left( {\ensuremath{{\cal E}}}- {\ensuremath{{E}}}_{n }^{(0)} ... ... {K}^2 - \frac{{\ensuremath{\alpha}}_{n}^{sbb} \hbar^4}{4 m_{n}^{sbb}} {K}^4$$ (2.30)

Aus dem Koeffizientenvergleich erhalten wir folgende Subbandparameter.

$${} m_{n}^{sbb} = \frac{\hbar^2}{2 {T}_{1,n n}}$$ (2.31)

$${} {\ensuremath{\alpha}}_{n}^{sbb} = -\frac{1}{\left({T}_{1,n n}\right)^2} \left( {T}_{2,n n} + \su... ...m n}^2}{{\ensuremath{{E}}}_{n }^{(0)} - {\ensuremath{{E}}}_{m }^{(0)}} \right)$$ (2.32)

Die Matrixelemente in (2.31) müssen in der Basis der Eigenfunktionen des Operators ${\ensuremath{{\ensuremath{\mathsf{G}}}}}^{{\ensuremath{\alpha}}}$ und mit den Eigenwerten der Gleichung (2.23) berechnet werden.