Trajectory-Split

Methode  

  
Abbildung 4.1: Beispiel fuer eine technologisch relevante, zweidimensionale Simulation: 25keV-Bor-Implantation mit einer Dosis von in eine LDD-Struktur; der Strahl wurde dabei um 7 gegenueber der [100]-Richtung gekippt.

  
Abbildung 4.2: Integriert man die zweidimensionale Dotierstoffkonzentration aus Abbildung 4.1 im Simulationsgebiet entlang der x-Achse, so erhält man den dazugehörigen eindimensionalen Dotierstoffverlauf (hier als Histogramm dargestellt).

Abbildung 4.1 zeigt ein typisches Anwendungsbeispiel für die Monte Carlo Simulation der Ionenimplantation -- eine Drain-Implantation für einen PMOS Transistor. Abbildung 4.2 zeigt das dazugehörige eindimensionale Bor-Profil, das durch Integration der Dotierstoffkonzentration im Simulationsgebiet entlang der x-Achse entstanden ist. Das Ergebnis ist die Randverteilung bezüglich der y-Koordinate.

Die Anzahl der zu berechnenden Trajektorien hängt natürlich von der jeweiligen Anwendung ab. Möchte man z.B. ein Retrograde well eines BiCMOS Transistors simulieren, so ist das Interesse am Channeling-Tail`` gering. Bei LDD und ,,Source/Drain Implantationen ist man hingegen sehr wohl bemüht, Konzentrationsbereiche, die um drei Größenordnungen kleiner sind als das Maximum, noch mit ausreichender Statistik aufzulösen. Normalerweise findet man bei Dotierstoffkonzentrationen mit einer relativen Fehlerschranke von fünf bis zehn Prozent das Auslangen, denn daraus resultiert ein Fehler von ca. in der Eindringtiefe (siehe Abbildung 4.2).

An Hand von Abbildung 4.2 läßt sich zeigen, daß vor allem das Channeling der Ionen für die im Vergleich zum amorphen Modell erhöhten Rechenzeiten verantwortlich ist:

1.

Das eigentliche Simulationsergebnis eines Monte Carlo Simulators ist ein Histogramm, in dem zur Ruhe gekommene Ionen gezählt werden. Daraus kann natürlich über einen linearen Zusammenhang die Konzentration berechnet werden, denn das Volumen einer Histogrammbox ist bekannt.

2.

In diesem speziellen Fall liegt das Konzentrationsmaximum von bei (wahrscheinlichste Eindringtiefe, ,,Projected range``) und

3.

die Konzentrationswerte und , die um ein bzw. drei Größenordnungen kleiner als sind, findet man bei bzw. .

Aus dem ersten und dritten Punkt folgt, daß

• die Histgrammboxen bei oder in der Nähe von rund 1000mal mehr Teilchen enthalten, als die Box bei und
• die Eindringtiefe von rund 88% aller Ionen kleiner als ist.

Daraus resultiert unmittelbar, daß

• die statistischen Schwankungen im Channeling-Tail in der Nähe von (periphere Bereiche) gemäß dem Gesetz von Poisson um den Faktor größer sind, als bei und
• bei dieser Energie nur ca. 12% aller Ionen im (100) Silizium channeln.

Kommt nun der konventionelle Algorithmus aus Kapitel 3.1 zum Einsatz, so kann das statisitische Rauschen im Channeling-Tail nur verringert werden, indem die Gesamtanzahl der zu berechnenden Ionentrajektorien erheblich erhöht wird. Da aber von diesem Inkrement wieder nur einige Prozent der Ionen in tiefere Regionen vorstoßen, wird fast die gesamte zusätzliche Rechenzeit dafür verschwendet, die ohnehin schon gute Statistik im Bereich von zu verbessern.

In diesem Kapitel wird daher ein neuer Algorithmus vorgestellt, dessen Geschwindigkeitsvorteile gegenüber dem konventionellen auf zwei Tatsachen beruhen [Boh95a, Boh95b, Boh95d, Boh95e]:

1.

Es werden Teile von bereits berechneten Trajektorien bei der Simulation von anderen Ionenbahnen wiederverwendet und

2.

die Anzahl der Ionen wird nur dort lokal erhöht, wo die momentane Statistik des Konzentrationsverlaufes dies ratsam erscheinen läßt, also in den peripheren Bereichen.

Dieses Verfahren wurde vor allem durch die Arbeit von Yang [Yan94] inspiriert, dessen Rare event approach im UT-MARLOWE Programm [Kle92] dazu geeignet ist, eindimensionale Monte Carlo Simulationen zu beschleunigen. Dieser Ansatz kann aber nicht für mehrdimensionale Gebiete erweitert werden und benötigt darüberhinaus anwendungsspezifische Vorgaben des Programmbenutzers.

Es soll aber an dieser Stelle nicht unerwähnt bleiben, daß solche oder ähnliche Verfahren bereits früher in Zusammenhang mit Monte Carlo Methoden [Bus66] (Killing and splitting), Bauelementesimulatoren [Phi77] oder Transmissionsuntersuchungen [Jak94, Jak95] publiziert wurden.

Der Trajectory-Split Algorithmus stellt jedoch eine Originalarbeit auf dem Gebiet der Monte Carlo Simulation der Ionenimplantation dar und hat sich auf Grund folgender Eigenschaften hervorragend in der Praxis bewährt:

• Reduzierung der Rechenzeit um einen Faktor drei bis sieben je nach Anwendungsbeispiel,
• keinerlei Einschränkungen in Bezug auf Dimensionalität und Komplexität des Simulationsgebietes,
• die physikalischen Modelle bleiben völlig unverändert,
• der einfache mittlere Fehler zeigt eine geringere Abhängigkeit von der relativen Konzentration als beim konventionellen Ansatz (siehe Kapitel 4.8), 
• der Fehlerverlauf kann interaktiv an die jeweilige Anwendung angepaßt werden,
• es besteht die Möglichkeit, die Follow-Each-Recoil Strategie für die Berechnung der Implantationsschäden zu beschleunigen und zu optimieren und
• der Algorithmus ist sehr einfach in bereits bestehende Simulatoren zu implementieren.