9 Das nichtlineare Iterationsverfahren



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9 Das nichtlineare Iterationsverfahren

 

Das Gleichungssystem, das man aus den diskretisierten Halbleitergleichungen erhält, ist hochgradig nichtlinear. Es muß mit Hilfe eines Iterationsverfahrens gelöst werden.

Zu diesem Zweck beginnt man mit einer geeigneten Anfangslösung, auf die später noch eingegangen wird. Für diese Anfangslösung werden die Werte der Kontrollfunktionen ausgerechnet; diese sind nicht Null, sondern geben das sogenannte Residuum der Gleichungen.

Indem man die Ableitungen der Kontrollfunktionen nach den Variablen bestimmt, linearisiert man das System um den momentanen Zustand, der noch inkonsistent ist. Den Funktionsvektor der Kontrollfunktionen kann man durch eine TAYLOR-Entwicklung um den momentanen Zustand beschreiben:

 

Dabei bezeichnet die Matrix, gebildet aus den partiellen Ableitungen der Gesamtkontrollfunktionen nach den Variablen , die sogenannte JACOBI-Matrix. Der Vektor enthält die Variablen im momentanen Zustand, sind die Gesamtkontrollfunktionen, die sich nach dem Aufbau des Gleichungssystems in der rechten Seite befinden.

Für das NEWTON-Verfahren bricht man die Reihe nach der ersten Ableitung ab und setzt den Ausdruck gleich Null. Das ergibt die Gleichung

 

Man erhält in eine Änderung des momentanen Zustands , für welche die TAYLOR-Entwicklung das Residuum Null ergibt. Durch Addition dieses Inkrementsvektors ergibt sich ein neuer Zustand:

 

Im linearen Fall wäre das bereits die Lösung des Gleichungssystems.

Im nichtlinearen Fall ergibt sich allerdings durch die Terme höherer Ordnung eine Verzerrung der Funktion. Durch verschiedene Dämpfungsstrategien versucht man, geeignet weit in Richtung des Vektors fortzuschreiten, sodaß die Norm des Vektors möglichst verkleinert wird. Danach wiederholt man das Aufstellen des Gleichungssystems und den Lösungsvorgang. Man bricht ab, wenn entweder die Norm des Änderungsvektors oder die Norm des Funktionsvektors oder beide genügend klein sind.

Damit man mit dieser Methode letztendlich bei der (oder bei einer) Lösung des Gleichungssystems anlangt, ist zweierlei erforderlich:

  1. Das System muß in einem gewissen Einzugsbereich um die Lösung (oder, falls es mehrere gibt, um die gesuchte Lösung) sein.
  2. Der Änderungsvektor muß mit einem geeigneten Dämpfungsverfahren behandelt werden.
Der erste Punkt ist vor allem ein Problem der Anfangslösung. Man muß speziell bei Simulationen nicht stabiler Arbeitspunkte (zum Beispiel bei einem Kennlinienrückschlag [11][3]) geeignete Methoden verwenden, um zur erwünschten Lösung zu gelangen. Darauf wird in dieser Arbeit nicht eingegangen. In den folgenden Abschnitten wird die Anfangslösung, die im Simulator implementiert wurde, kurz beschrieben; dann werden die Vor- und Nachteile bestimmter Dämpfungsverfahren untersucht.





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Martin Stiftinger
Fri Oct 21 18:22:52 MET 1994