Verweisend auf Abb. 1.9 kann die Schleifeninduktivität als Summe von partiellen Selbst- und Gegeninduktivitäten ausgedrückt werden [39]
und
gibt die Anzahl der Segmente der Leiterschleife an. Die Matrix der partiellen Induktivitäten
ist positiv definit,
hängt von der Stromrichtung in den Segmenten ab, nämlich vom Vorzeichen des skalaren Produkts der beiden
Stromrichtungsvektoren der Segmente
und
. Parallele Leiter mit
gleicher Stromrichtung ergeben demnach ein positives Vorzeichen, parallele
Leiter mit entgegengesetzter Stromrichtung ein negatives Vorzeichen. Segmente
mit orthogonaler Stromverteilung tragen nichts zur Schleifeninduktivität bei,
da hierfür die partielle Induktivität
entsprechend (1.4)
identisch Null ist. Durch die Definition, dass alle Segmente ihren
Rückstrompfad im Unendlichen haben, werden die partiellen Induktivitäten
benutzt, um etwaige Schleifenwechselwirkungen in Stromkreisen ohne das Wissen
vom wirklichen Strompfad zu repräsentieren. Abbildung 1.10 illustriert,
dass die Schleifeninduktivität aus den partiellen Induktivitäten folgt.
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Partielle Induktivitäten werden zumeist numerisch ausgewertet, es existieren eine Reihe von Näherungsformeln [40] für Leiteranordnungen bestimmter Geometrien, für einfache Geometrien sind auch geschlossene Lösungen vorhanden [41], wenngleich geschlossene Lösungen selbst für gewöhnliche Geometrien außerordentlich verwickelt sind (s. beispielsweise Anhang B). Partielle Induktivitäten für zwei Segmente (Abb. 1.11) sind folgenderweise definiert:
Dabei sind ,
die Querschnittsflächen der Segmente senkrecht zur
Stromrichtung, und
bzw.
ihre Längen.
und
sind die Einheitsvektoren in
Richtung der Ströme, und
mit den beiden Ortsvektoren
.
Falls der Rückstrompfad bekannt ist oder zumindest abgeschätzt werden kann, kann die ganze Schleife mit einer Schleifeninduktivität modelliert werden. Abbildung 1.12 kann durchaus ein Teil von einem komplexen Stromkreis sein. Nehmen wir an, dass die Struktur keine Gleichstromverbindung zu benachbarten Teilen aufweist, so wird der äquivalente Stromkreis durch partielle
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Induktivitäten erhalten (Abb. 1.12b), und mündet schließlich unter Berücksichtigung der Kopplungen in dem Äquivalenzstromkreis Abb. 1.12c. Aus (1.3) folgt für die Schleifeninduktivität
Eine Näherung von IC Rückstrompfaden, die häufig angewandt wird, ist,
dass am Ende die Signalleitungen auf Erde geschaltet sind, oder
der Rückstrompfad in der Nähe platziert ist, sodass der gesamte Strompfad
bekannt ist. Er wird ohne Kapazität modelliert. Mit einer komplexen RL Matrix
können effizient Schleifeninduktivitäten für lange Verbindungsleitungen
ermittelt werden. Dieses einfache Modell vernachlässigt die kapazitiven
Verschiebungsströme durch kapazitive Kopplungen von benachbarten Leitungen,
und kann nicht für CMOS Stromkreise verwendet werden [43].
Für den Hochfrequenzanteil des Spektrums wird der Skineffekt
besonders wichtig auf den oberen Metalllagen, wo die Weite der
Strukturen größer ist als die Eindringtiefe1.6. Aufgrund der Frequenzabhängigkeit
geht man vielfach dazu über, mittels R(), L(
) und C die
Übertragungseigenschaften zu charakterisieren. Bezüglich der geometrischen Abmessungen von Verbindungsleitungen ist
anzumerken, dass die lateralen Dimensionen der Verbindungsstrukturen nahe
1
m sind, während typische Längen von globalen Verbindungsleitungen im
Bereich um 1 cm liegen [44]. Für globale
Verbindungsleitungen läßt sich das Übertragungsverhalten, inklusive der
Berechnung der Verzögerungszeit gut mit verteilten Größen behandeln.
In [45] wird gezeigt, dass für eine typische globale
Verbindungsleitung bei einer Frequenz von 1 GHz der induktive Anteil
der Leitungsimpedanz vergleichbar zum Widerstand wird, und über 4 GHz
dramatisch überhand nimmt.