Abstract

Hot carrier effects are a severe reliability concern in state-of-the-art transistors. Carriers with high energies influence the lifetime of MOSFET devices through the generation of defects in the gate dielectric. Any physically based model for hot-carrier-degradation requires a detailed description of the high-energy-tail of the energy distribution function (EDF). The EDF in a semiconductor device is determined by the Boltzmann transport equation which can be solved by the Monte Carlo (MC) method. Calculation of the high-energy-tail of the EDF using the traditional forward MC method, however, is very time-consuming. To overcome this problem, a stable backward MC method has been developed and implemented. If the carrier-energy of interest is high, a forward trajectory is very unlikely to gain so much energy, whereas in the backward method only these unlikely trajectories are considered, and no computation time is wasted with the vast majority of trajectories that do not gain the required energy. This fact allows the calculation of the drain current of a MOSFET in the entire sub-threshold region including the leakage current in the off-state. Symmetric current estimators are proposed which produce less statistical error than the non-symmetric ones. The significant difference compared to the original version of the backward method is that the transition rates for the backward trajectories are chosen to adhere to the principle of detailed balance. This property guarantees the stability of the numerical method and allows for a clear physical interpretation of the estimators. By assuming a Maxwellian distribution at an elevated temperature for the initial points of the backward trajectories, the method will generate more sampling points at higher energies. This method of statistical enhancement reduces the statistical error of quantities that depend on the high-energy tail of the EDF. The different estimators and their properties have been evaluated by simulations of an n-channel MOSFET. Strongly varying quantities can be resolved quickly over many orders of magnitude, such as the sub-threshold current and the EDF.

It is commonly accepted that electron-electron scattering alters the EDF and thus plays a vital part in physics-based hot-carrier degradation models. In this work, we assume an equilibrium distribution for the partner electrons. This model is suitable to describe the interaction of channel hot electrons with a reservoir of cold electrons in the drain region of a MOSFET. The single-particle scattering rate has been formally derived and implemented for both full-band and analytic band structure models. The scattering rate for the parabolic band approximation is obtained by analytic integration. The full-band scattering rate needs to be pre-calculated and stored for the MC simulations. It has been shown that the transition rates obtained from this model obey the principle of detailed balance. Thus, the presented model predicts a Maxwellian tail at high energies also in the presence of electron-electron scattering.

Kurzfassung

Heiße Ladungsträger stellen ein schwerwiegendes Zuverlässigkeitsproblem in modernen Transistoren dar. Ladungsträger mit hohen Energien beeinflussen die Lebensdauer von MOS Transistoren durch die Generation von Defekten im Gate-Dielektrikum. Jedes physikalische Modell der Degradation durch heiße Ladungsträger (engl. hot-carrier-degradation ) benötigt eine detaillierte Beschreibung des Hochenergiebereiches der Ladungsträgerenergieverteilung. Diese Verteilung wird durch die Boltzmann-Transport-Gleichung bestimmt, welche durch eine Monte Carlo (MC) Methode gelöst werden kann. Bei der Berechnung des Hochenergiebereiches der Verteilung mittels der herkömmlichen Vorwärts-MC Methode wird jedoch sehr viel Rechenzeit benötigt. Um dieses Problem zu lösen, wurde eine stabile Version der Rückwärts-MC Methode entwickelt und implementiert. Wenn die zu untersuchende Ladungsträgerenergie hoch ist, wird eine herkömmliche Vorwärts-Trajektorie diese Energie nur sehr selten erreichen. In der Rückwärts-Methode jedoch werden nur diese unwahrscheinlichen Trajektorien berücksichtigt. Somit wird keine Rechenzeit mit dem Großteil der Trajektorien verschwendet, welche die benötigte Energie nie erreichen. Diese Eigenschaft der Rückwärts-Methode führt dazu, dass man für einen MOS Transistor den Drainstrom im gesamten Sub-Threshold Bereich bis hin zum Leckstrom im ausgeschalteten Zustand berechnen kann. Es werden symmetrische Stromschätzer vorgestellt, die einen geringeren statistischen Fehler aufweisen als die nicht-symmetrischen. Der wichtigste Unterschied der verwendeten Rückwärts-Methode gegenüber der ursprünglichen Methode besteht darin, dass die Rückwärts-Trajektorien so gewählt werden, dass sie das Prinzip des detaillierten Gleichgewichts einhalten. Diese Eigenschaft garantiert die numerische Stabilität der Methode und erlaubt eine physikalische Interpretation des Strom-Schätzers. Wenn die Zustände der injizierten Teilchen aus einer Maxwellverteilung mit erhöhter Temperatur gewählt werden, so besitzen diese Teilchen im Mittel eine höhere Energie. Diese statistische Anreicherung reduziert den statistischen Fehler von jenen Größen, die vom Hochenergiebereich der Verteilungsfunktion abhängen. Verschiedene Strom-Schätzer und deren Eigenschaften wurden anhand von Simulationen eines n-Kanal MOSFET untersucht. Physikalische Größen können verhältnismäßig schnell über mehrere Größenordnungen aufgelöst werden, wie etwa der Sub-Threshold-Strom und die Ladungsträgerverteilung.

Es wird allgemein angenommen, dass die Elektron-Elektron-Streuung den Hochenergiebereich der Ladungsträgerverteilung verändert. Dadurch spielt sie eine wichtige Rolle in physikalischen Degradationsmodellen. Die vorliegende Arbeit nimmt eine Gleichgewichtsverteilung für die Partnerelektronen an. Dieses Modell eignet sich um die Interaktion von heißen Ladungsträgern mit einem Reservoir von kalten Ladungsträgern im Draingebiet eines MOSFET zu beschreiben. Die Einteilchen-Streurate wurde für analytische sowie numerische Bandstrukturen hergeleitet und implementiert. Die Streurate für ein parabolisches Band kann mittels analytischer Integration berechnet werden. Im Fall einer numerischen Bandstruktur muss man im Vorfeld für jede MC Simulation die Streurate numerisch berechnen und in einer Tabelle ablegen. Es wurde gezeigt, dass die Einteilchen-Streurate des vorgestellten Modells das Prinzip des detailierten Geleichgewichts erfüllt. Somit wird er maxwellsche Energieabfall des Hochenergiebereiches durch die Elektron-Elektron Streuung laut diesem Modell nicht verändert.

Contents

List of Figures

List of Acronyms

• BMC backward Monte Carlo

• BTE Boltzmann transport equation

• BZ Brillouin zone

• DD drift diffusion

• DF distribution function

• EDF energy distribution function

• EES electron-electron scattering

• FMC forward Monte Carlo

• HC hot carrier

• HCD hot carrier degradation

• MC Monte Carlo

• MOSFET metal oxide semiconductor field effect transistor

• nMOS n channel MOSFET

• SHE spherical harmonics expansion

• VMC Vienna Monte Carlo Simulator