6.1.2 Analytische Lösung  

  Unter der Annahme schwacher äußerer Störungen kann die Boltzmanngleichung linearisiert werden. f ist dann näherungsweise

 

f = f₀ + f₁, (6.11)

wobei f₀ die symmetrische Gleichgewichtsverteilung (gerade in $\vec{k}$) und f₁ die dem Feld proportionale Abweichung (ungerade in $\vec{k}$) ist. Unter der Annahme einer Relaxationszeit  für den Streuterm (``relaxation time approximation'' ),

$$\frac{\partial f}{\partial t}_{\mathrm{coll}}= \frac{f - f_0}{\tau(\vec{k})},$$ (6.12)

folgt, da die geraden und ungeraden Terme jeweils gleich sein müssen,

$$f_1 = - \tau(\vec{k})\;\frac{\vec{\vec{F}_{\mathrm{ext}}}}{\hbar}\;\nabla_{\vec{k}} f_0\,.$$ (6.13)

Aus der Definition der Stromdichte (erstes Moment von f)

$$j = -e_0\,{\left\langle {\vec{v}}\right\rangle}$$ (6.14)

und den Gleichungen (6.1) und (6.13) sowie der Tatsache, daß die ungeraden Terme zum Mittelwert keinen Beitrag liefern, folgt der allgemeine Zusammenhang für die Beweglichkeit

$$\mu_{\mathrm{}}^{} = \frac{1}{\hbar^2}\;\frac{\displaystyle... ...m{d}^3\vec{k}}{\displaystyle\int f_0\; \mathrm{d}^3\vec{k}}\,.$$ (6.15)

Unter Annahme einer isotropen Bandstruktur kann (6.15) weiter ausgeführt werden. Nach Übergang zu Energievariablen erhält man

$$\mu_{\mathrm{}}^{} = \frac{e_0}{{m_{}^{}}}\;\frac{\displays... ...)\; \mathrm{d}E} = \frac{e_0}{{m_{}^{}}}\;\tau_{\mathrm{m}}\,.$$ (6.16)

(6.16) stellt die Definition der Impulsrelaxationszeit  $\tau_{\mathrm{m}}$ (``momentum relaxation time'') dar. Unter Annahme einer Maxwell-Boltzmann  Gleichgewichtsverteilung läßt sich (6.16) noch vereinfachen zu

$$\mu_{\mathrm{}}^{} = \frac{e_0}{{m_{}^{}}}\;\frac{{\left\langle {\tau\,E}\right\rangle}}{{\left\langle {E}\right\rangle}}\,.$$ (6.17)

Die Relaxationszeitnäherung (6.12) stellt eine große Vereinfachung dar. Ihre Gültigkeit setzt voraus, daß

1.

die betrachteten Streuprozesse elastisch sind, das heißt die Teilchenenergie wird durch den Stoßprozeß nicht verändert, $E(\vec{k}')=E(\vec{k})$.
Das ist der Fall für die Streuung an Materialinhomogenitäten (ionisierte Störstellen, Legierung, Grenzflächen und ähnliches) und in guter Näherung für akustische Phononen bei Raumtemperatur ($\hbar\omega \ll k_{\mathrm{B}}\,T$). Für optische Phononen ist diese Voraussetzung allerdings nicht gegeben, da die Phononenenergie typischerweise im Bereich der thermischen Energie liegt.

2.

die Relaxationszeit als Funktion von $\vec{k}$ beziehungsweise E darstellbar ist $\tau(E(\vec{k}))$.
Im allgemeinen sind die Relaxationszeiten isotrop, das heißt nur von $\vert\vec{k}\vert$ abhängig. Für monotone $E(\vec{k})$ Beziehungen, wie sie ja in der Nähe der Bandextrema gegeben sind, läßt sich also eine Form $\tau(E)$ finden, wodurch sich das Integral vereinfacht.

Die Relaxationszeit $\tau$ wird von der Interaktion aller Streumechanismen bestimmt. Sie ist der Kehrwert der totalen Streurate. Unter Annahme statistisch unabhängiger Streuprozesse ist die totale Streurate die Summe der individuellen Streuwahrscheinlichkeiten (Streuraten),

$$\frac{1}{\tau} = \sum_i \frac{1}{\tau_i}.$$ (6.18)

Auch diese Beschreibung ist für die analytische Berechnung von $\mu_{\mathrm{}}^{}$ noch nicht einfach genug, sodaß obige Summation auch für die aus den individuellen Prozessen resultierenden mittleren Impulsrelaxationszeiten angenommen wird. Dies ist die sogenannte Matthiessen-Regel  und bedeutet, daß die Einzelbeweglichkeiten zufolge der verschiedenen Streuprozesse reziprok addiert werden können,

$$\frac{1}{\mu_{\mathrm{}}^{}} = \sum_i \frac{1}{\mu_{\mathrm{i}}^{}}.$$ (6.19)

Es muß darauf hingewiesen werden, daß (6.19) prinzipiell eine sehr grobe Näherung darstellt, da die Einzelprozesse durchaus unterschiedliche Abhängigkeiten von E aufweisen. Ihre Akzeptanz liegt neben ihrer Einfachheit wohl auch darin begründet, daß die erzielten Resultate nicht zuletzt aufgrund der relativen Unsicherheit in den phänomenologischen Eingangsgrößen gut mit dem Experiment in Übereinstimmung gebracht werden können. Andererseits ist diese Schwäche ein Hauptgrund, die Beweglichkeit mittels exakterer numerischer Verfahren zu ermitteln (siehe Abschnitt 6.1.3).

Für Relaxationszeiten mit potenzförmiger Abhängigkeit $\tau(\eta) = \tau_0\,\eta^a$ in der reduzierten Energie $\eta = \frac{E}{k_{\mathrm{B}}\,T_n}$ läßt sich (6.17) besonders einfach angeben:

$${\left\langle {\tau}\right\rangle} = \tau_0\;\frac{\Gamma(a+\frac{5}{2})}{\Gamma(\frac{5}{2})}\,.$$ (6.20)

T_n ist die Temperatur des Elektronensystems (Elektronentemperatur ), die im betrachteten Ohmschen Bereich gleich der Gittertemperatur T ist. In der Folge sind Nullfeldbeweglichkeiten aufgrund diverser Streuprozesse, die für den Fall der isotropen parabolischen Bandstruktur herleitbar sind, angegeben.