An den Kontakten wird angenommen, daß sich die Ladungsträger im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Während der Simulation müssen daher Zustände für die injizierten Elektronen entsprechend der Boltzmannstatistik erzeugt werden. Vielfach wird in der Literatur an den Kontakten eine Normalverteilung für die Geschwindigkeits- oder Impulskomponenten angenommen. Dies liefert jedoch nur für parabolische Täler eine Energieverteilung nach der Boltzmannstatistik. Der Fehler ist aber sehr gering, da sich die Information über die Anfangsbedingungen nach wenigen Streuvorgängen verliert.
Abbildung: Erzeugung einer Gleichgewichtsverteilung
mit Hilfe der Verwerfungsmethode
In dieser Arbeit wurde eine genauere Methode entwickelt, bei der zuerst die Energie entsprechend der Boltzmannstatistik gewählt wird und daraus die Länge des Wellenvektors berechnet wird. Die Winkelverteilung ist isotrop.
Wie schon bei der Berechnung der Gleichgewichtsenergie in Abschnitt 3.1.4,
geht man auch hier von der Wahrscheinlichkeitsdichte aus,
die sich aus der Zustandsdichte Gleichung 3.22 und der Boltzmannstatistik
zusammensetzt. Im folgenden werden energieunabhängige
Vorfaktoren weggelassen und zwei dimensionslose Größen
und
eingeführt,
Da nicht analytisch integrierbar ist, scheidet die direkte Methode
zur Erzeugung der Zufallsvariablen
aus.
Um die Zahl der Versuche beim sogenannten ,,Verwerfungsverfahren``
[27][49] zu reduzieren, setzen wir eine einfache
Funktion an, die zwischen
und
größer als
ist (Abbildung 5.6),
Darin bedeutet das absolute Maximum der Funktion
.
Weiters wird eine maximale Energie
eingeführt, bei der die Boltzmannverteilung abgeschnitten wird.
Diese Energie soll ein bis zwei Größenordnungen über der
Gleichgewichtsenergie liegen. Der Wert von
wird aus der Stetigkeitsbedingung
bestimmt. Da die Dichte analytisch integrierbar und die Stammfunktion
invertierbar ist, kann die direkte Methode verwendet werden. Mit den so
gewonnenen
-verteilten Zufallszahlen wird nun durch das
Verwerfungsverfahren eine Zufallsfolge mit
-Verteilung erzeugt.
Nach der Wahl eines
wird ein isotrop verteilter Wellenvektor zur
Energie
gewählt. Der Mittelwert der erzeugten
Zufallsfolge
entspricht genau den Werten in der Tabelle 3.1,
wenn der Nichtparabolizitätsfaktor variiert wird.