5.4.2 Die Faltung

Ein Nachteil der CIC- und der TSC-Methode ergibt sich daraus, daß für jeden simulierten Streuprozeß die umgebenden Gitterpunkte gesucht und die Überlappungsbereiche der Assignment-Funktion berechnet werden müssen. Nachdem es sich dabei um einen häufig wiederkehrenden Rechenschritt handelt, geht er merklich in die Gesamtrechenzeit ein.

In dieser Arbeit wurde daher ein neues Verfahren entwickelt, das diesen Nachteil ausschließt. Zusätzlich zum Rechengitter wird ein zweites, uniformes Gitter eingeführt, auf dem mit Hilfe der NGP-Methode, die wegen ihrer Einfachheit sehr effizient ist, nach Gleichung 4.42 die Daten gesammelt werden [58]. Dieses zweite Gitter soll zwecks Unterdrückung einer räumlichen Mittelung möglichst fein sein. Die eigentliche Zuordnung zum Rechengitter erfolgt als getrennter Rechenschritt am Ende der Monte-Carlo-Simulation. Die auf dem feinen Gitter bis dahin gesammelten Werte sollen im folgenden als Monte-Carlo-Rohdaten bezeichnet werden. Diese Daten sollen mathematisch durch eine stückweise konstante Funktion beschrieben werden.

Die Berechnung des Mittelwertes an einem beliebigen Punkt erfolgt durch Faltung der Rohdaten-Funktion mit einer Gewichtsfunktion . Diese Gewichtsfunktion soll nur auf dem Intervall von null verschieden sein,

Dieses Faltungsintegral muß an den diskreten Punkten des nicht-uniformen Gitters für jede Größe am Ende der Simulation genau einmal ausgewertet werden. Da die Anzahl der Gitterpunkte um mehrere Größenordnungen geringer ist als die Anzahl der Streuprozesse, wirkt sich diese Faltungsoperation nur geringfügig auf die Gesamtrechenzeit aus. Allerdings geht dieser Gewinn an Rechenzeit zu Lasten des Speicherbedarfes, der sich auf Grund des zusätzlichen Gitters erhöht.

Für die Gewichtsfunktion wurde folgende Wahl getroffen,

Im Prinzip könnte jede gerade Funktion, die sinnvollerweise ein Maximum bei besitzt und außerhalb von verschwindet, verwendet werden.

Die Faltungsmethode läßt sich einfach auf zwei Dimensionen erweitern, indem man für die Gewichtsfunktion einen Produktansatz aus zwei eindimensionalen Gewichtsfunktionen nach Gleichung 5.37 wählt. Zur Behandlung des Randes wird angenommen, daß sich die Rohdaten auf dem Zusatzgitter über den Rand hinaus spiegelbildlich fortsetzen.

Dieses Verfahren bietet ferner die Möglichkeit, in konsistenter Weise die Ableitung zu bilden. Differenzieren von Gleichung 5.37 ergibt

Diese Art der Differentiation hat wieder den Vorteil, daß sie unabhängig vom Rechengitter ist und nur die Filterweite als Parameter besitzt.

Die physikalische Bedeutung der Rohdaten ist immer die einer Dichte, z.B. Teilchenstromdichte oder Energiedichte. Aus diesen Dichten erhält man die Driftgeschwindigkeit und die mittlere Energie je Teilchen durch Normierung mit der Teilchenkonzentration.

Nun stellt sich die Frage, ob diese Normierung auf dem Gitter der Rohdaten oder auf dem Rechengitter durchzuführen ist. Wegen der Feinheit des Zusatzgitters ist die Anzahl der Streuprozesse je Zelle relativ klein, und außerdem wird diese Zahl von Zelle zu Zelle stark streuen. Daher ist es wichtig, die Rohdaten der interessierenden Größe und die Trägerkonzentration zuerst dem Rechengitter zuzuordnen und dann die Normierung durchzuführen. Nur so ist gewährleistet, daß Zellen mit unterschiedlichen Besetzungszahlen ihrem tatsächlichen statistischen Gewicht entsprechend berücksichtigt werden. Die normierte Größe wird also aus den Rohdatenfunktionen für die Dichte und für die Trägerkonzentration wie folgt bestimmt,

 
Abbildung: Elektronenbeweglichkeit und Temperaturspannung für drei verschiedene Filterweiten. Die Feldverteilung springt bei von auf .  

Die Ableitung einer normierten Größe wird mit der Kettenregel gebildet, wobei die Ableitungen der Dichten, und , mit Gleichung 5.38 berechnet werden,

Um den Einfluß der Filterweite zu untersuchen, wurden die eindimensionalen Verteilungen der Größen

in einfachen Strukturen berechnet. Die Definitionen der Temperaturspannung und der nichtlokalen Beweglichkeit werden weiter unten noch genauer behandelt, weshalb hier nicht näher darauf eingegangen werden soll. Das Energie-Gradientenfeld erfordert die Differentiation der Temperaturspannung. In der Abbildung 5.3 wird angenommen, daß das elektrische Feld bei von auf springt. Die Temperaturspannung verhält sich typisch nichtlokal, da sie dem Feldsprung nicht unmittelbar folgt, sondern in Bewegungsrichtung der Elektronen von links nach rechts eine Verzögerung aufweist. In dieser Struktur von Länge dürfte eine Filterweite von ein guter Kompromiß sein. Die steilen Flanken der Profile werden nur unwesentlich abgeflacht, während das Rauschen gut unterdrückt wird.

 
Abbildung: Das Energie-Gradientenfeld unter einem Feldsprung für drei verschiedene Filterweiten.  

In Abbildung 5.4 wurde das Energie-Gradientenfeld nach Gleichung 5.40 aus der Dichte für die Temperaturspannung und aus der Trägerkonzentration berechnet. Obwohl der Spitzenwert sehr empfindlich von der Filterweite abhängt, ist die Fläche unterhalb der drei Kurven gleich groß. Das Integral des Energie-Gradientenfeldes über die Länge der Struktur ist nämlich genau die Differenz , welche nach Abbildung 5.3 praktisch nicht von der Filterweite abhängt.

Die Temperaturspannung und das Energie-Gradientenfeld werden in Abbildung 5.5 in einer -Diode dargestellt. Die niedrig dotierte Zone hat eine Länge von und ist mit dotiert, während die hochdotierten Zonen mit dotiert sind. Der rasche Abfall der Temperaturspannung am -Übergang ist nur zum Teil auf die Energieabgabe heißer Ladungsträger zurückzuführen. In erster Linie ist eine Vermischung der heißen Elektronen mit den kalten im -Gebiet dafür verantwortlich. Dieser Abfall führt zu einem Spitzenwert des Energie-Gradientenfeldes von . In diesem Beispiel wurde eine Filterweite von gewählt.

 
Abbildung: Temperaturspannung und Energie-Gradientenfeld in einer -Diode. Die -Zone hat eine Länge von und liegt symmetrisch um .