Ein Nachteil der CIC- und der TSC-Methode ergibt sich daraus, daß für jeden simulierten Streuprozeß die umgebenden Gitterpunkte gesucht und die Überlappungsbereiche der Assignment-Funktion berechnet werden müssen. Nachdem es sich dabei um einen häufig wiederkehrenden Rechenschritt handelt, geht er merklich in die Gesamtrechenzeit ein.
In dieser Arbeit wurde daher ein neues Verfahren entwickelt, das diesen
Nachteil ausschließt. Zusätzlich zum Rechengitter wird ein zweites,
uniformes Gitter eingeführt, auf dem mit Hilfe der NGP-Methode,
die wegen ihrer Einfachheit sehr effizient ist, nach
Gleichung 4.42 die Daten gesammelt werden [58].
Dieses zweite Gitter
soll zwecks Unterdrückung einer räumlichen Mittelung möglichst fein sein.
Die eigentliche Zuordnung zum Rechengitter erfolgt als getrennter
Rechenschritt am Ende der Monte-Carlo-Simulation. Die auf dem feinen Gitter bis
dahin gesammelten Werte sollen im folgenden als Monte-Carlo-Rohdaten bezeichnet
werden. Diese Daten sollen mathematisch durch eine stückweise konstante
Funktion beschrieben werden.
Die Berechnung des Mittelwertes an einem beliebigen Punkt erfolgt durch
Faltung der Rohdaten-Funktion
mit einer Gewichtsfunktion
.
Diese Gewichtsfunktion soll nur auf dem Intervall
von null
verschieden sein,
Dieses Faltungsintegral muß an den diskreten Punkten des nicht-uniformen Gitters für jede Größe am Ende der Simulation genau einmal ausgewertet werden. Da die Anzahl der Gitterpunkte um mehrere Größenordnungen geringer ist als die Anzahl der Streuprozesse, wirkt sich diese Faltungsoperation nur geringfügig auf die Gesamtrechenzeit aus. Allerdings geht dieser Gewinn an Rechenzeit zu Lasten des Speicherbedarfes, der sich auf Grund des zusätzlichen Gitters erhöht.
Für die Gewichtsfunktion wurde folgende Wahl getroffen,
Im Prinzip könnte jede gerade Funktion, die sinnvollerweise ein Maximum
bei besitzt und außerhalb von
verschwindet, verwendet
werden.
Die Faltungsmethode läßt sich einfach auf zwei Dimensionen erweitern, indem man für die Gewichtsfunktion einen Produktansatz aus zwei eindimensionalen Gewichtsfunktionen nach Gleichung 5.37 wählt. Zur Behandlung des Randes wird angenommen, daß sich die Rohdaten auf dem Zusatzgitter über den Rand hinaus spiegelbildlich fortsetzen.
Dieses Verfahren bietet ferner die Möglichkeit, in konsistenter Weise die Ableitung zu bilden. Differenzieren von Gleichung 5.37 ergibt
Diese Art der Differentiation hat wieder den Vorteil, daß sie unabhängig vom
Rechengitter ist und nur die Filterweite als Parameter besitzt.
Die physikalische Bedeutung der Rohdaten ist immer die einer Dichte, z.B. Teilchenstromdichte oder Energiedichte. Aus diesen Dichten erhält man die Driftgeschwindigkeit und die mittlere Energie je Teilchen durch Normierung mit der Teilchenkonzentration.
Nun stellt sich die Frage, ob diese Normierung
auf dem Gitter der Rohdaten oder auf dem Rechengitter durchzuführen ist.
Wegen der Feinheit des Zusatzgitters ist die Anzahl der Streuprozesse je
Zelle relativ klein, und außerdem wird diese Zahl von Zelle zu Zelle stark
streuen. Daher ist es wichtig, die Rohdaten der interessierenden Größe
und die Trägerkonzentration
zuerst dem Rechengitter zuzuordnen und dann
die Normierung durchzuführen. Nur so ist gewährleistet, daß Zellen mit
unterschiedlichen Besetzungszahlen ihrem tatsächlichen statistischen Gewicht
entsprechend berücksichtigt werden. Die normierte Größe
wird also aus den Rohdatenfunktionen
für die Dichte
und
für die Trägerkonzentration wie folgt bestimmt,
Abbildung: Elektronenbeweglichkeit und Temperaturspannung für drei verschiedene
Filterweiten. Die Feldverteilung springt bei von
auf
.
Die Ableitung einer normierten Größe wird mit der Kettenregel gebildet,
wobei die Ableitungen der Dichten, und
, mit
Gleichung 5.38 berechnet werden,
Um den Einfluß der Filterweite zu untersuchen, wurden die eindimensionalen Verteilungen der Größen
in einfachen Strukturen berechnet. Die Definitionen der Temperaturspannung
und der nichtlokalen Beweglichkeit werden weiter unten noch genauer
behandelt, weshalb hier nicht näher darauf eingegangen werden soll.
Das Energie-Gradientenfeld
erfordert die Differentiation der
Temperaturspannung. In der Abbildung 5.3 wird angenommen, daß das
elektrische Feld bei
von
auf
springt. Die Temperaturspannung
verhält sich typisch nichtlokal, da sie
dem Feldsprung nicht unmittelbar folgt, sondern in Bewegungsrichtung der
Elektronen von links nach rechts eine Verzögerung aufweist.
In dieser Struktur von
Länge dürfte eine Filterweite von
ein
guter Kompromiß sein. Die steilen Flanken der Profile werden nur unwesentlich
abgeflacht, während das Rauschen gut unterdrückt wird.
Abbildung: Das Energie-Gradientenfeld unter einem Feldsprung für drei verschiedene
Filterweiten.
In Abbildung 5.4 wurde das Energie-Gradientenfeld nach Gleichung
5.40 aus der Dichte für die Temperaturspannung und aus der
Trägerkonzentration berechnet. Obwohl der Spitzenwert sehr empfindlich von der
Filterweite abhängt, ist die Fläche unterhalb der drei Kurven gleich groß.
Das Integral des Energie-Gradientenfeldes über die Länge der Struktur ist
nämlich genau die Differenz , welche nach
Abbildung 5.3 praktisch nicht von der Filterweite abhängt.
Die Temperaturspannung und das Energie-Gradientenfeld werden in Abbildung 5.5
in einer -Diode dargestellt. Die niedrig dotierte Zone hat eine
Länge von
und ist mit
dotiert, während
die hochdotierten Zonen mit
dotiert sind.
Der rasche Abfall der Temperaturspannung am
-Übergang ist nur zum Teil auf die
Energieabgabe heißer Ladungsträger zurückzuführen. In erster Linie ist eine
Vermischung der heißen Elektronen mit den kalten im
-Gebiet dafür
verantwortlich. Dieser Abfall führt zu einem Spitzenwert des Energie-Gradientenfeldes von
. In diesem Beispiel wurde eine Filterweite von
gewählt.
Abbildung: Temperaturspannung und Energie-Gradientenfeld in einer -Diode. Die
-Zone hat eine Länge von
und liegt symmetrisch um
.