Das im vorigen Abschnitt beschriebene, selbstkonsistente Iterationsverfahren
soll nun an einer eindimensionalen
-Diode angewendet werden.
Die niedrigdotierte Zone ist
lang, die angelegte Spannung beträgt
. Wegen der kurzen Länge der Diode von
wurde die Monte-Carlo-Rechnung
von Kontakt zu Kontakt ausgeführt.
Abbildung: Dotierungsprofil (punktiert) und Trägerkonzentrationen in einer
-Diode. Die Anfangslösung (strichliert) stammt aus einer
selbstkonsistenten Drift-Diffusionssimulation. Die durchgezogenen Linie gibt die
Trägerkonzentration
nach vier selbstkonsistenten Iterationen mit dem Monte-Carlo-Modell an.
Die erweiterten Halbleitergleichungen 6.50 bis 6.51 wurden in PROMIS [47] [79] [80] implementiert [57]. Dieses Programm ist für die numerische Lösung von gekoppelten Diffusionsproblemen konzipiert worden. Es erlaubt die Vorgabe einer frei wählbaren Anzahl von allgemeinen Kontinuitätsgleichungen der Form
die zusammen mit den Stromgleichungen
in ein oder zwei Ortsdimensionen gelöst werden. Da dieses Gleichungssystem in PROMIS etwas anders diskretisiert wird als die Kontinuitätsgleichung in MINIMOS (vergleiche Abschnitt 5.6), wurde vom Monte-Carlo-Programm zusätzlich zur Beweglichkeit und Temperaturspannung auch das Energie-Gradientenfeld als eigene Verteilung übergeben. Dieses wurde mit der Faltungsmethode nach Abschnitt 5.4.2 berechnet.
In Abbildung 7.1 werden die Trägerkonzentrationen mit dem Dotierungsprofil (punktierte Linie) innerhalb der Diode verglichen. Die strichlierte Linie stellt die Anfangslösung für die Trägerkonzentration dar, die aus einer selbstkonsistenten Drift-Diffusionssimulation stammt. In der mittleren Zone ist diese Konzentration konstant. Aus der eindimensionalen Kontinuitätsgleichung
folgt, daß bei einer konstanten Konzentration auch die Geschwindigkeit konstant ist. Da in der mittleren Zone ein Großteil der angelegten Spannung abfällt, sind in diesem Bereich auf Grund der hohen Feldstärke die Elektronen mit der Sättigungsgeschwindigkeit, das ist die maximal mögliche Geschwindigkeit des lokalen Beweglichkeitsmodelles, unterwegs.
Abbildung 7.2: Potentialverteilungen in derselben Struktur. Die strichlierte
Linie gibt die Anfangslösung an, die durchgezogene das Ergebnis nach
vier selbstkonsistenten Iterationen.
Die durchgezogene Linie gibt die Trägerkonzentration nach vier Iterationen zwischen dem Monte-Carlo-Modell und den erweiterten Halbleitergleichungen an. Im ersten Teil der mittleren Zonen liegt die Trägerkonzentration unterhalb des konstanten Drift-Diffusionswertes. Der Kontinuitätsgleichung 7.3 zufolge liegt in diesem Bereich die Geschwindigkeit über dem Drift-Diffusionswert, also über der Sättigungsgeschwindigkeit.
Die Differenz zwischen der Elektronenkonzentration und der
Dotierungskonzentration in
der -Zone bestimmt die Raumladungsdichte. Diese Raumladung verteilt sich
offensichtlich beim lokalen Transportmodell (strichliert) anders als beim
nichtlokalen (durchgezogen). Dies führt zu den in Abbildung 7.2
dargestellten unterschiedlichen Potentialverteilungen.
Als zwei Größen, die die Potentialverteilung charakterisieren sollen, wurden
die maximale Feldstärke und die Potentialbarriere am -Übergang
gewählt. Da die Überwindung dieser Barriere durch ein Teilchen ein
seltenes Ereignis darstellt, wurde das Trajektorienmultiplikationsverfahren
nach Abschnitt 5.7 angewendet.
Abbildung 7.3 zeigt nun die Entwicklung dieser beiden Größen mit der
Zahl der Iterationen.
Abbildung 7.3: Entwicklung der maximalen Feldstärke und der verzögernden
Potentialbarriere am -Übergang mit der Zahl der Iterationen.
Die maximale Feldstärke, die bei der aus einer selbstkonsistenten
Drift-Diffusionssimulation
stammenden Anfangsverteilung beträgt, steigt während der
Iterationen mit dem nichtlokalen Transportmodell auf
. Bei den
nachfolgenden Iterationen ändert sich dieser Maximalwert um weniger
als
. Die Potentialbarriere
verringert sich von
auf
, von wo sie sich bei weiteren Iterationen um weniger
als
wegbewegt.
Es ist bemerkenswert, daß die selbstkonsistente Potentialverteilung nach nur drei (!) Iterationen erreicht wurde, wobei die Genauigkeitsschranken der Endwerte durch die Monte-Carlo-Methode bestimmt werden.