7.1 Die -Diode

Das im vorigen Abschnitt beschriebene, selbstkonsistente Iterationsverfahren soll nun an einer eindimensionalen -Diode angewendet werden. Die niedrigdotierte Zone ist lang, die angelegte Spannung beträgt . Wegen der kurzen Länge der Diode von wurde die Monte-Carlo-Rechnung von Kontakt zu Kontakt ausgeführt.

 
Abbildung: Dotierungsprofil (punktiert) und Trägerkonzentrationen in einer -Diode. Die Anfangslösung (strichliert) stammt aus einer selbstkonsistenten Drift-Diffusionssimulation. Die durchgezogenen Linie gibt die Trägerkonzentration nach vier selbstkonsistenten Iterationen mit dem Monte-Carlo-Modell an. 

Die erweiterten Halbleitergleichungen 6.50 bis 6.51 wurden in PROMIS [47] [79] [80] implementiert [57]. Dieses Programm ist für die numerische Lösung von gekoppelten Diffusionsproblemen konzipiert worden. Es erlaubt die Vorgabe einer frei wählbaren Anzahl von allgemeinen Kontinuitätsgleichungen der Form

die zusammen mit den Stromgleichungen

in ein oder zwei Ortsdimensionen gelöst werden. Da dieses Gleichungssystem in PROMIS etwas anders diskretisiert wird als die Kontinuitätsgleichung in MINIMOS (vergleiche Abschnitt 5.6), wurde vom Monte-Carlo-Programm zusätzlich zur Beweglichkeit und Temperaturspannung auch das Energie-Gradientenfeld als eigene Verteilung übergeben. Dieses wurde mit der Faltungsmethode nach Abschnitt 5.4.2 berechnet.

In Abbildung 7.1 werden die Trägerkonzentrationen mit dem Dotierungsprofil (punktierte Linie) innerhalb der Diode verglichen. Die strichlierte Linie stellt die Anfangslösung für die Trägerkonzentration dar, die aus einer selbstkonsistenten Drift-Diffusionssimulation stammt. In der mittleren Zone ist diese Konzentration konstant. Aus der eindimensionalen Kontinuitätsgleichung

folgt, daß bei einer konstanten Konzentration auch die Geschwindigkeit konstant ist. Da in der mittleren Zone ein Großteil der angelegten Spannung abfällt, sind in diesem Bereich auf Grund der hohen Feldstärke die Elektronen mit der Sättigungsgeschwindigkeit, das ist die maximal mögliche Geschwindigkeit des lokalen Beweglichkeitsmodelles, unterwegs.

 
Abbildung 7.2: Potentialverteilungen in derselben Struktur. Die strichlierte Linie gibt die Anfangslösung an, die durchgezogene das Ergebnis nach vier selbstkonsistenten Iterationen.  

Die durchgezogene Linie gibt die Trägerkonzentration nach vier Iterationen zwischen dem Monte-Carlo-Modell und den erweiterten Halbleitergleichungen an. Im ersten Teil der mittleren Zonen liegt die Trägerkonzentration unterhalb des konstanten Drift-Diffusionswertes. Der Kontinuitätsgleichung 7.3 zufolge liegt in diesem Bereich die Geschwindigkeit über dem Drift-Diffusionswert, also über der Sättigungsgeschwindigkeit.

Die Differenz zwischen der Elektronenkonzentration und der Dotierungskonzentration in der -Zone bestimmt die Raumladungsdichte. Diese Raumladung verteilt sich offensichtlich beim lokalen Transportmodell (strichliert) anders als beim nichtlokalen (durchgezogen). Dies führt zu den in Abbildung 7.2 dargestellten unterschiedlichen Potentialverteilungen.

Als zwei Größen, die die Potentialverteilung charakterisieren sollen, wurden die maximale Feldstärke und die Potentialbarriere am -Übergang gewählt. Da die Überwindung dieser Barriere durch ein Teilchen ein seltenes Ereignis darstellt, wurde das Trajektorienmultiplikationsverfahren nach Abschnitt 5.7 angewendet. Abbildung 7.3 zeigt nun die Entwicklung dieser beiden Größen mit der Zahl der Iterationen.

 
Abbildung 7.3: Entwicklung der maximalen Feldstärke und der verzögernden Potentialbarriere am -Übergang mit der Zahl der Iterationen.  

Die maximale Feldstärke, die bei der aus einer selbstkonsistenten Drift-Diffusionssimulation stammenden Anfangsverteilung beträgt, steigt während der Iterationen mit dem nichtlokalen Transportmodell auf . Bei den nachfolgenden Iterationen ändert sich dieser Maximalwert um weniger als . Die Potentialbarriere verringert sich von auf , von wo sie sich bei weiteren Iterationen um weniger als wegbewegt.

Es ist bemerkenswert, daß die selbstkonsistente Potentialverteilung nach nur drei (!) Iterationen erreicht wurde, wobei die Genauigkeitsschranken der Endwerte durch die Monte-Carlo-Methode bestimmt werden.