5.2.2 Das thermionische Emissionsmodell

 

Verschiedene modere Bauelemente nutzen die Möglichkeit der abrupten Änderung der Bandkantenenergien. Dazu gehört auch der Heterostruktur-Feldeffekt-Transistor (HFET). Seine Funktion wird durch die Eigenschaften eines Kanals bestimmt, bestehend aus einem Schmalband-Halbleitermaterial, der zwischen zwei Breitband-Halbleiterschichten eingebettet ist. Diese Struktur bewirkt eine entsprechend hohe Ladungsträgerkonzentration im Kanal. Die Dotierung befindet sich räumlich getrennt vom Kanal in den Breitband-Halbleiterschichten. Der Kanal selbst ist undotiert und besitzt daher eine hohe Beweglichkeit der Ladungsträger. Der HFET ist ein Majoritätsträger-Bauelement. Aufgrund der besseren Beweglichkeit kommen hauptsächlich n-Kanal HFETs zum Einsatz. Die folgenden Überlegungen befassen sich daher mit dem Elektronentransport. Die Funktion des HFETs wird maßgeblich davon bestimmt, wie gut es gelingt, auch bei Stromfluß die Elektronen im Kanal zu konzentrieren. Je höher die Temperatur und damit die Energie der Elektronen ist, um so eher sind sie in der Lage, die den Kanal einschließenden Energiebarrieren zu überwinden. Sind die Elektronen nicht mehr nur im Kanal, sondern auch zunehmend in umgebenden Schichten anzutreffen, reduziert sich die Leitfähigkeit des Transistors. Dieser Effekt wird als Real-Space Transfer (RST) bezeichnet. Eine Modellierung der Grenzflächeneigenschaften zwischen Halbleiterschichten wird also auch den Energietransport berücksichtigen müssen.

In Abschnitt 5.1.2 wurden die Gleichungen (5.41) und (5.42) als Grenzflächenbedingungen für den Ladungsträgertransport gefunden mit

 

und

 

mit den Verteilungsfunktionen und in den Teilgebieten 1 und 2. M ist das Moment das bestimmt, für welche Transportgleichung die Grenzflächenbedingungen berechnet werden (siehe unten). Für die Beziehungen zischen und gilt (s. (5.25), (5.28))

und aus (5.26).

Entsprechend der Gleichung (4.5) werden für und Verteilungsfunktionen der Form

gewählt. Der Parameter ist definiert als

und der Index i bezeichnet das Teilgebiet 1 oder 2. Die unbekannten Größen in der Verteilungsfunktion sind die Quasi-Fermienergie , die Elektronentemperatur . Die Parameter und definieren als Linearkombinationen die Elektronenstromdichten und Energiestromdichten ,

mit

Wie in Abschnitt 5.1.2 beschrieben, erhält man aus (5.53) und (5.54) mit

die Grenzflächenbedingungen für die Elektronenstromdichten und unter der Voraussetzung parabolischer Energiebänder mit

die Grenzflächenbedingungen für die Energiestromdichten. Es müssen jedoch noch einige vereinfachende Annahmen getroffen werden, da die Integrale sonst nicht analytisch ausgewertet werden können. Dazu wird bezüglich als Summe eines symmetrischen und eines unsymmetrischen Anteils geschrieben,

Folgende Annahmen werden nun getroffen [28]:

1. Der unsymmetrische Anteil von der rechten Seite von (5.53) wird vernachlässigt,

    

   und

2. es wird der Integrationsbereich für von der linken Seite von (5.54) von auf erweitert,

    

Der Effekt dieser Annahmen ist, daß der dem unsymmetrischen Anteil von entsprechende Fluß vom Teilgebiet 1 in das Teilgebiet 2 nicht transmittiert sondern reflektiert wird. Dieser Fluß ist in der Größenordnung kleiner als der Gesamtfluß. Der verursachte Fehler bleibt demnach vernachlässigbar, wenn

ist. Diese Annahme ist nicht immer erfüllt da die Temperatur sehr groß werden kann. Zu beachten ist jedoch, daß diese Grenzflächenbedingungen die Flüsse über die Grenzfläche nur qualitativ, nicht jedoch quantitativ bestimmen, obwohl die Elektronen- und Energiestromdichte explizit in den Gleichungen vorkommen. Sie legen vielmehr fest, in welchem Verhältnis die Ladungsträgerkonzentration und -temperaturen an beiden Seiten der Grenzfläche zueinander stehen. Die Stromdichten selbst werden maßgeblich von den Volumsmodellen mitbestimmt.

Für das erste Integral der linken Seite von (5.67) wird die Variablensubstitution durchgeführt und man erhält:

 

wobei berücksichtigt wurde, daß

Der Integrand des zweiten Terms der rechten Seite ist ungerade und die Integration ergibt daher Null,

Berücksichtigt man weiters

so erhält man für M=1 aus (5.66)

und aus (5.69)

wobei die Parameter und bereits durch die Elektronenstromdichte und Energiestromdichte ersetzt wurden. Die Grenzflächenbedingungen für die Energiestromdichte ergeben mit eingesetzt in (5.66)

Aus (5.69) folgt

Formt man diese Gleichungen unter Berücksichtigung von um, und ergänzt die in Abschnitt 5.1.1 erhaltenen elektrostatischen Bedingungen, so erhält man die Grenzflächenbedingungen für die thermionische Emission von Elektronen:

ist die sogenannte Emissionsgeschwindigkeit

Weiters wird angenommen, daß und gilt. Damit sind sowohl für den dielektrischen Fluß , für den Teilchenfluß , als auch für den Energiefluß je zwei Grenzflächenbedingungen definiert. Der Parameter dient zur Kalibrierung des thermionischen Emissionsmodells (s. Abschnitt 7.4).

Abschließend sei noch bemerkt, daß das thermionische Emissionsmodell ein Grenzflächenmodell mit unstetigem Verlauf der Quasi-Fermienergie an der Grenzfläche ist. Es kann jedoch in das Modell stetiger Quasi-Fermienergie, das in Abschnitt 5.2.1 hergeleitet wurde, übergeführt werden. Führt man mit (5.80) den Grenzübergang durch mit der Bedingung, daß konstant bleibt, so folgt

und weiter

Mit der Bedingung der stetigen Elektronentemperatur ergibt sich

was mit (5.50) übereinstimmt.