Für die lateralen Verteilungsfunktionen wurde bisher meistens nur die
Gaußfunktion verwendet [Fur72], [Rys83b], [Gil88], die
allerdings symmetrisch zu Null ist. Die Gleichungen sind hier immer
nur für eine laterale Koordinate (
) angeschrieben, gelten aber
natürlich genauso für 
.
Daß lange Zeit keine anderen Funktionen verwendet wurden, liegt nicht zuletzt daran, daß es trotz einiger Ansätze zur Messung zweidimensionaler Profile [GJ89], [Sub90], [Cer92], [Sub92] noch immer keine befriedigenden zweidimensionalen Meßdaten gibt. Zur Messung eindimensionaler vertikaler Profile hingegen gibt es relativ genaue und vergleichsweise einfache Methoden. Diese experimentellen Daten werden dann für die Verbesserung der vertikalen Verteilungsfunktionen herangezogen.
Wie später in Abschnitt 3.5 im Vergleich der
analytischen Implantation mit Ergebnissen aus Monte-Carlo Simulationen
noch gezeigt wird, reicht aber die Gaußfunktion nicht immer für die
Berechnung der lateralen Verteilungsfunktion aus [Hob87b],
[Hob88b]. Für eine genauere Beschreibung muß das nächsthöhere
Moment in die Rechnung mit einbezogen werden. Das ist in diesem Fall
die laterale Kurtosis 
. Zu diesem Zweck benötigt man einen
zusätzlichen freien Parameter für die Verteilungsfunktion. In
[Hob87a] wird zum Beispiel eine Modifikation der
Gaußfunktion in der Art vorgeschlagen, daß die Potenz 2 durch eine
allgemeine, positive Potenz 
ersetzt wird:
Die laterale Kurtosis für diese modifizierte Gaußfunktion
kann durch den Parameter mittels der Gammafunktion (
)
folgendermaßen berechnet werden:
Leider kann für die ebenfalls benötigte Umkehrfunktion 
kein analytischer Ausdruck angegeben werden. Der Wert von kann
aber laut [Hob87a] mit guter Näherung aus der Kurtosis nach den
Formeln (3.17) - (3.20) bestimmt werden:
nach Gl. (3.18) steht
als Grenzwert für 
für sehr große Werte von p und 
laut Gl. (3.19) für 
. Mit aus Gl. (3.17) ergibt sich
für die Faktoren 
und 
:
Auf die Ableitung der Formeln (3.17)-(3.22)
wird in [Hob87a] und [Hob88a] näher eingegangen. Wie aus
obigen Formeln zu ersehen ist, muß größer als 1.8 sein
(sonst wird imaginär). Wenn
aber gleich 1.8 ist, dann entspricht das einer
Rechtecksverteilung; es gibt kein Implantationsprofil mit 
. Für 
(
) ergibt sich eine Gaußfunktion,
für 
(
) eine Dreiecksfunktion. Für
Dotierungsprofile kommt der Fall von 
allerdings fast nie
vor. Bei Punktdefekten kann es aber doch sehr große Werte von
geben. Daher soll hier als alternative Verteilungsfunktion
noch die Pearson-VII-Funktion mit Gl. (3.23) angegeben
werden
die die Lösung für Gl. (3.11) ist, wenn gilt
Für die Pearson-VII-Funktion ergeben sich , und 
laut
[Joh70] zu:
Für 
geht die Pearson-VII-Verteilungsfunktion in die
Gaußverteilung über. Werte für 
sind - analog zu den
Werten im Falle der modifizierten Gaußfunktion -
nicht möglich (siehe Gl. (3.25)). Als laterale
Verteilungsfunktion wäre daher laut [Hob87a] für 
die Gaußfunktion - Gl. (3.15) - und für 
eine Pearson-VII Funktion - laut Gl. (3.23) - zu
verwenden.
