Abbildung 3.2: Bei der
analytischen Berechnung des Implantationsprofiles werden für alle
Aufpunkte alle Punktantworten überlagert.
Mit Hilfe der Punktantwort aus Abschnitt 3.2 kann das
Implantationsprofil berechnet werden. Um die Konzentration für einen
bestimmten Punkt 
zu ermitteln, werden die einzelnen
Punktantworten in den lateralen Richtungen überlagert (siehe
Abb. 3.2). Es wird eine vertikale Verteilung
nach Abschnitt 3.2 angenommen.
Die Konzentration im Punkt 
erhält man durch
Integration aller vertikaler Verteilungsfunktionen über die lateralen
Koordinaten:
Wichtig ist die Beachtung des Neigungswinkels der
Implantationsrichtung zur Normalen auf die Oberfläche der
Siliziumscheibe 
(Tiltangle). Es wird nämlich manchmal unter
einem bestimmten Neigungswinkel implantiert, um ein besseres
elektrisches Verhalten zu erreichen. So wird etwa häufig mit einem
Winkel von 
implantiert, um den Channeling Effekt zu
vermeiden [Gil88].
Die Beachtung des Neigungswinkels ist aber für die Simulation
essentiell, weil die Parameter der Verteilungsfunktionen immer vom
Abstand der Halbleiteroberfläche zum betrachteten Aufpunkt, in dem
die Konzentration ermittelt werden soll, abhängen. Dieser Abstand ist
natürlich für ein und denselben Punkt wieder je nach der
Eintrittsrichtung des Ionenstrahles verschieden. Daher wird die
gesamte Geometrie einschließlich des Rechengitters um 
gedreht.
Danach wird die Geometrie in vertikale Streifen zerschnitten, die in
der Einfallsrichtung des Ions - also in vertikaler Richtung im
gedrehten Koordinatensystem - liegen. Die Anzahl der Streifen ist
immer eine Zweierpotenz, weil man dann eine binäre Suche besser
anwenden kann, und weil eine gerade Anzahl von Streifen für
symmetrische Geometrien ohne Tiltangle auch symmetrische Ergebnisse
liefert. Für jeden Streifen 
werden die für die
eindimensionalen vertikalen Verteilungsfunktionen benötigten
Parameter - das sind der Skalierungsfaktor 
, der
Verschiebungsfaktor 
und die Position des Interfaces
zwischen zwei Materialien 
- für jede Materialschicht 
bestimmt [Sch91a]. Diese Berechnungen werden wie für lateral
unendlich ausgedehnte Strukturen durchgeführt.
Für Vakuum-Regionen (
) ist eine spezielle Behandlung
notwendig. Daher mußten die Originalgleichungen -
Gl. (3.30) - Gl. (3.31) - leicht
modifiziert werden. Das Gleichungssystem für die Berechnung der
Parameter der Verteilungsfunktionen eines Streifens ist in
Gl. (3.35) - Gl. (3.39) angegeben.
Das Ion tritt in der Tiefe 
in das Target ein. In der
Berechnung wird als Bezugskoordinate verwendet. Dadurch
wird die gesamte Berechnung unabhängig vom Ursprung des
Koordinatensystems. 
ist darin die vertikale Koordinate des
Beginns dieser Schicht.
bezeichnet immer die letzte mit Material ausgefüllte Schichte
für die -te Schicht (meist gilt also 
), 
ist
die Dicke dieser Schicht.
In Vakuumschichten verschwindet die Verteilungsfunktion. Sie wird dann in der nächsten Nicht-Vakuumschicht so fortgesetzt, als ob die beiden Schichten aneinander anschließen würden.
Nach der Bestimmung aller dieser Parameter in einem
Initialisierungsschritt von 
für alle lateralen
Streifen und die jeweiligen darin enthaltenen Materialschichten wird
das Implantationsprofil für einen vorgegebenen Punkt
durch Integration nach Gl. (3.34) berechnet.
Allerdings wird das Integral nicht wirklich von 
bis
ausgewertet, sondern nur in einem symmetrischen Bereich um
die jeweilige laterale Koordinate 
bzw. 
. Dieser Bereich ist ein
Vielfaches der lateralen Standardabweichung 
oder
. Als Grenzen ergeben sich also:
Beiträge außerhalb dieses Bereiches werden vernachlässigt. Daher
hängt die Wahl von 
von der gewünschten Genauigkeit ab. Ein
größeres erhöht aber die Rechenzeit, weil ja über einen
weiteren Bereich integriert werden muß. Als ausreichender Wert hat
sich in zweidimensionalen Simulationen die Wahl von 
erwiesen. Diese Wahl von hat sich generell als
günstigster Kompromiß zwischen Rechenzeit und Genauigkeit gezeigt.
Bei dieser Art der Berechnung des zweidimensionalen
Implantationsprofiles aus Überlagerungen von Punktantworten muß also
für jeden Aufpunkt , für den die Konzentration
berechnet werden soll, ein gewisser Bereich (
), (
) um
diesen Punkt betrachtet werden. Dies kann aber in manchen Fällen
problematisch werden. Normalerweise wird nur ein Ausschnitt aus der
realen Halbleiterstruktur simuliert. Das heißt, daß die angegebenen
Grenzen keine wirklichen, sondern nur künstliche Begrenzungen sind;
die Struktur wäre dann zum Beispiel an den Rändern (praktisch)
unendlich fortzusetzen. Bei der Simulation können aber wiederum nur
endliche Strukturen - das heißt eigentlich kleine Ausschnitte der
Siliziumscheibe - behandelt werden. Der Simulator nimmt jedoch an,
daß außerhalb des definierten Simulationsgebietes Vakuum liegt; die
Struktur könnte ja wirklich dort aufhören. An den Rändern ergibt
sich dann aber immer ein Abfall in der Konzentration bis auf die
Hälfte des korrekten Wertes, weil der Beitrag aus dem Integral über
den Vakuumteil verschwindet.
Die Lösung dieses Problemes ist die Definition von sogenannten
künstlichen Grenzen (Artificial Boundaries), womit ausgedrückt
werden soll, daß die Grenzen des Simulationsgebietes keine echten,
sondern eben nur künstliche, für den Simulator jedoch notwendige
Einschränkungen in der Ausdehnung der Struktur sind. An solchen
Artificial Boundaries wird die Geometrie dann um
erweitert. Dadurch wird gewährleistet, daß
alle Beiträge zum Integral aus Gl. (3.34) für jeden Punkt
des definierten Simulationsgebietes berücksichtigt werden.
