5.3 Knotenregel für Ladungen

Die bisher abgeleiteten Regeln für Spannungen und Ströme sind nicht ausreichend, wenn Schaltungen simuliert werden sollen, die Knoten enthalten, an denen ausschließlich Kondensatoren angeschlossen sind (siehe z.B. Abbildungen 7.1 und 6.1). Derartige Probleme können in folgenden Situationen auftreten:

• Schaltungen mit MOS-Transistoren, wobei sehr vereinfachte Modelle für die MOS-Transistoren verwendet werden.
• Switched Capacitor Filter
• Simulation von dynamischen Speichern (RAM)

Aus den Maxwell'schen Gleichungen für das stationäre elektromagnetische Feld ([83])   läßt sich folgendes ableiten:

Durch Anwendung des Gauß'schen Integralsatzes ergibt sich:

Betrachtet man nun ein Volumen, das keine leitenden Verbindungen nach außen hat und an dessen Oberfläche sich die Elektroden mit der Fläche von kapazitiven Elementen befinden, so folgt aus der Definition der Ladung auf einer Elektrode

und Gleichung 5.7

Da man infolge der elektrischen Abschirmung keine Ladungen in das Volumen V einbringen kann (es gibt kein Bauteil, das speichert ohne auch zu speichern, siehe 3.3), so sind die wahren Ladungen 0 und es gilt:

Eine weitere Möglichkeit zur Ableitung der Ladungsregeln bietet die Kirchhoff'sche Knotenregel (5.1):

mit der Definition des Stromes eines Kondensators

Wenn diese Beziehung integriert wird, erhält man:

Da für gilt (siehe 6.1), folgt für die Integrationskonstante und damit die Regel

Die dritte Möglichkeit zur Ableitung der Beziehung 5.9 bzw. 5.11 stellt der Satz dar, daß sich jedes physikalische Gebilde derart einstellt, daß die gespeicherte Energie ein Minimum ist.

Für ein elektrisches Netzwerk formuliert, lautet diese Regel nun:

Für jedes Teilnetzwerk, dessen Verbindung nach außen nur über rein kapazitive Elemente erfolgt, gilt, daß die Summe der Speicherladungen der Elektroden der kapazitiven Verbindungselemente gleich ist.

Pro Netzwerk gebe es voneinander unabhängige ``kapazitive Sterne'' mit kleiner gleich der Anzahl der Knoten des Netzwerks.

Die Knotenregel für Ladungen wird für jeden ``kapazitiven Stern'' als Graph mit Hilfe der in 4.1 eingeführten Teilgraphen für die beteiligten Bauteile wie folgt dargestellt:

Es wird im Gesamtgraphen ein neuer Knoten eingefügt, der den ``kapazitiven Stern'' darstellt. Von jedem q-Knoten der beteiligten kapazitiven Bauteile führt eine gerichtete Kante zum neuen Knoten, die mit bewertet ist, wenn die Zählpfeilrichtung der Ladung in den ``kapazitiven Stern'' zeigt, sonst mit . Dem Knoten selbst ist der fixe Wert zugeordnet.