Unterabschnitte

• 2.5.1 Initialisierung
• 2.5.2 Anfangslösung
• 2.5.3 Schrödinger-Gleichung
• 2.5.4 Subbandparameter
• 2.5.5 Poisson-Gleichung
• 2.5.6 Nachbearbeitung
• 2.5.7 Randbedingungen

2.5 Selbstkonsistente Lösung

Eine selbstkonsistente Lösung von Poisson- und Schrödinger-Gleichung wird durch abwechselndes Lösen der beiden Gleichungen erreicht ([43]). Aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung (2.53) erhält man die Eigenwerte und die einhüllenden Funktionen zum Separationsansatz (2.4), aus denen nach (2.98) die Ladungsträgerdichte berechnet wird. Diese Ladungsträgerdichte wird dann in die Poisson-Gleichung (2.83) eingesetzt, um das Potenzial zu berechnen.

Abbildung 2.9: Selbstkonsistente Lösung von Schrödinger- und Poisson-Gleichung.

Bei der Lösung der Poisson-Gleichung wird die Verkopplung der Elektronenkonzentration und des Potenzials durch die in (2.97) angegebene Ableitung der Elektronendichte nach dem Potenzial berücksichtigt. Das Konvergenzverhalten ist von vornherein nicht bekannt. In der Praxis hat sich das Verfahren jedoch als durchaus stabil erwiesen.

2.5.1 Initialisierung

Nachdem der Simulator die benötigten Parameter für die Geometrie, die verwendeten Materialien sowie die gewünschte Genauigkeit eingelesen hat, werden jene Größen initialisiert die sich im Laufe der selbstkonsistenten Lösung von Schrödinger- und Poisson-Gleichung nicht mehr ändern. Dazu zählen insbesondere die Matrixelemente jener Operatoren aus Gleichung (2.40), die in Form von Matrixoperationen bei der Berechnung des Operators der kinetischen Energie verwendeten werden.

2.5.2 Anfangslösung

Ein wichtiger Punkt in Hinsicht auf Stabilität und Konvergenz ist die Wahl einer geeigneten Anfangslösung. Die Berechnung einer Anfangslösung aus der Poisson-Gleichung erfolgt durch ein Newton-Verfahren, wobei die Elektronendichte klassisch berechnet wird.

2.5.3 Schrödinger-Gleichung

Unter Verwendung der während der Initialisierung berechneten Matrixelemente des Operators der kinetischen Energie wird die Matrixeigenwertgleichung (2.53) aufgestellt. Die Matrixelemente des Potenzials werden aus der Anfangslösung berechnet. Für alle betrachteten Talsorten wird das Matrixeigenwertproblem gelöst und die Wellenfunktionen und Energieeigenwerte für die gewünschte Anzahl an Subbändern gespeichert.

2.5.4 Subbandparameter

Mit den aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung erhaltenen Wellenfunktionen und Energieeigenwerten werden nach (2.31) und (2.32) die Subbandparameter Masse und Nichtparabolizitätskoeffizient ausgewertet. Mit den Subbandparametern, den Wellenfunktionen und den Energieeigenwerten kann nun der quantenmechanische Anteil der Elektronenkonzentration berechnet werden, wobei entweder Boltzmann- oder Fermi-Dirac-Statistik verwendet wird. An dieser Stelle erfolgt der Übergang in den Ortsraum, indem die im Fourier-Raum vorliegenden Wellenfunktionen durch eine ``Fast-Fourier-Transformation'' ([33]) wieder auf das Ortsgitter abgebildet werden und daraus der quantenmechanische Anteil der Elektronenkonzentration berechnet wird.

2.5.5 Poisson-Gleichung

Die Lösung der nichtlinearen Poisson-Gleichung erfordert eine Newton-Iteration. Dabei wird der gerade berechnete Anteil der Elektronenkonzentration als konstant angenommen. Es ist ausreichend sich auf einen einzigen Schritt der Newton-Iteration zu beschränken, um eine ausreichende Korrektur für das Potenzial zu erhalten. Dieses Potenzial wird wieder in die Schrödinger-Gleichung eingesetzt.

2.5.6 Nachbearbeitung

Wurde bei der selbstkonsistenten Iteration eine ausreichend genaue Lösung ermittelt, kann nach der Berechnung der Subbandparameter die Iteration abgebrochen werden. In einem Nachbearbeitungsschritt können zusätzliche Größen, wie die effektiven Weiten, ermittelt werden.

2.5.7 Randbedingungen

Für eine MOS-Struktur ist die Untersuchung der Zustände bei unterschiedlichen Betriebszuständen von Interesse. Wir wollen den Einfluss der zwischen dem Gate- und dem Bulk-Gebiet angelegten Spannung untersuchen. Die Umrechnung dieser Spannung auf die Potenzialwerte am Rand des Simulationsgebiets erfolgt über die Betrachtung der Verhältnisse an idealen Kontakten ([47]).

Im folgenden nehmen wir ein Gate aus Polysilizium an. Es liegt dann am Gate- und am Bulk-Kontakt ein Metall-Halbleiterübergang vor, für den jeweils die Ladungsträgerneutralität erfüllt sein soll.

$${} {\ensuremath{n_{q}}}+{\ensuremath{n_{cl}}}- {\ensuremath{p}}- {\ensuremath{C}} = 0$$ (2.97)

Mit (2.99) ist die relative Lage des Fermi-Niveaus zu den beiden Leitungsbandkanten festgelegt. In den Randgebieten verschwindet der quantenmechanische Anteil ${\ensuremath{n_{q}}}$ der Ladungsträgerkonzentration. Bei der Lösung der Gleichung (2.99) werden die Ladungsträgerdichten nach (2.74) und (2.87) eingesetzt. An einem idealen Ohm'schen Kontakt ([36]) kommt es zu einem Ausgleichsvorgang, bei dem sich die Fermi-Niveaus im Metall und im Halbleiter angleichen. Durch diesen Ausgleichsvorgang entsteht eine Ladungsansammlung am Kontakt, die durch die Kontaktspannung berücksichtigt wird.

$${} {\ensuremath{e}} {\ensuremath{V_{MS}}} = \left. {\ensuremath{E_F}}\right\vert _{Metall} - \left. {\ensuremath{E_F}}\right\vert _{Halbleiter}$$ (2.98)

Die in (2.100) angeschriebenen Fermi-Niveaus beziehen sich dabei auf die Niveaus der für sich allein betrachteten Materialien vor dem Ausgleichsvorgang. Die Kontaktspannung wird nun in zwei Anteile aufgespalten. Dazu verwendet man das intrinsische Fermi-Niveau ${\ensuremath{E_{in}}}$ des undotierten Halbleiters, welches sich aus der Bedingung

$${\ensuremath{n}}{\ensuremath{p}}= \left. {\ensuremath{n_i}}\right. ^2$$ (2.99)

ergibt, und in etwa in der Mitte zwischen den beiden Bandkanten liegt. Es kann daher bei der Berechnung des intrinsischen Fermi-Niveaus mit Boltzmann-Statistik gearbeitet werden.

Abbildung 2.10: Lage der Energieniveaus am Rand des Simulationsgebietes.

$${\ensuremath{E_{in}}} = \frac{{\ensuremath{E_v}}+ {\ensuremath{E_... ...remath{T}}}{2} \ln \left( \frac{{\ensuremath{N_V}}}{{\ensuremath{N_C}}} \right)$$ (2.100)

Im dotierten Halbleiter ist das Fermi-Niveau um $-e {\ensuremath{\Phi_{F}}}$ vom intrinsischen Niveau verschoben. Die Potenzialdifferenz ${\ensuremath{\Phi_{F}}}$ kann bei Verwendung der Boltzmann-Statistik explizit angegeben werden.

$$\left. {\ensuremath{\Phi_{F}}}\right\vert _{Boltzmann} = \frac{{\ensuremath{k_B}}{\ensuremath{T}}}{{\ensuremath{e}}} {\operatorname{arsinh}}{\left( \frac{C}{2 n_i} \right)}$$

Bei Verwendung der Fermi-Dirac-Statistik kann der Wert aus der Boltzmann-Statistik als Startwert für eine iterative Lösung der Ladunsträgerneutralität (2.99) verwendet werden.

Die Kontaktspannung lässt sich somit in einen dotierungsabhängigen und eine dotierungsunabhängigen Anteil aufspalten.

$${} {\ensuremath{V_{MS}}} = - {\ensuremath{\Phi'_{MS}}}- {\ensuremath{\Phi_{F}}}$$ (2.101)

$${} - {\ensuremath{e}} {\ensuremath{\Phi'_{MS}}} = \left. {\ensuremath{E_F}}\right\vert _{Metall} - \left. {\ensuremath{E_{in}}}\right\vert _{Halbleiter}$$ (2.102)

$${\ensuremath{e}}{\ensuremath{\Phi_{F}}} = {\ensuremath{E_{in}}}- {\ensuremath{E_F}}$$

Für das Potenzial werden die Kontaktierungen von Gate und Bulk durch das Ersatzschaltbild 2.11 mit der in (2.103) angegebenen Kontaktspannung beschrieben.

Abbildung 2.11: Ersatzschaltbild für die Potenzialverhältnisse an den Gate- und Bulk-Kontakten einer Silizium-Gate-MOS-Struktur.

Durch die angelegte Spannung $U_{GB}$ tritt zwischen den Fermi-Niveaus im Gate und im Bulk eine Differenz von $-{\ensuremath{e}}U_{GB}$ auf. Dies ist in Abbildung 2.10 skizziert. Um zur Leitungsbandkante ${\ensuremath{E_c}}$ zu gelangen, wird das Potenzial von der im jeweiligen Material konstanten Gleichgewichtslage der Leitungsbandkante abgezogen.

$${\ensuremath{E_c}}(z) = E_{C0} - {\ensuremath{e}}{\ensuremath{\phi}}(z)$$ (2.103)

Die Sprünge der Leitungsbandkante, die an beiden Seiten des Oxids auftretenden, werden aus den Elektronenaffinitäten der jeweils aneinandergrenzenden Materialien ermittelt und im Simulator über die Vorgabe der Gleichgewichtslage der Leitungsbandkante berücksichtigt.

Im Falle eines Metall-Gate gelten für das Randgebiet beim Substrat die Ausführungen zum Metall-Halbleiterübergang. Auf der Gate-Seite ist das Oxid direkt mit dem Metallkontakt verbunden. Dementsprechend wird die Lage der Leitungsbandkante aus der angelegten Spannung und der Austrittsarbeit ermittelt.

In Abbildung 2.12 ist der Verlauf der Bandkanten und der Fermi-Energie für eine Simulation eines MOS-Transistors mit einem Polysilizium Gate und einer Oxiddicke von 3 $nm$ bei einer angelegten Gate-Bulk-Spannung von 1.2 $V$ aufgetragen. Zu erkennen ist die Bandverbiegung an beiden Seiten des Oxids, die auf der Substratseite zur Ausbildung des Kanals führt, und der lineare Verlauf der Leitungsbandkante im Oxid.

Abbildung 2.12: Simulationsergebnisse für die Bandkanten und die Fermi-Energie einer MOS-Struktur mit 3 $nm$ Oxiddicke.